\(x^2+2y^2+2xy-6x-8y+2018\)

\(=x^2+y^2+9+2xy-6x-6y+y^2-2y+1+2008\)

\(=\left(3-x-y\right)^2+\left(y-1\right)^2+2008\)  \(\ge2008\)

Dấu '=' xảy ra   \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}3-x-y=0\\y-1=0\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\)\(\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

Vậy Min P = 2008  <=> x=2; y=1

\(p=\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(6x+6y\right)+9+\left(y^2-2y+1\right)+2008\)

\(=\left(x+y\right)^2-6\left(x+y\right)+9+\left(y-1\right)^2+2008\)

\(=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2008\)\(\ge2008\)với \(\forall x,y\)

Dấu "=" xảy ra khi  y = 1;  x = 2

\(P=x^2+2y^2+2xy-6x-8y+2018\)

\(P=\left(x^2+2xy+y^2\right)+y^2-6x-8y+2018\)

\(P=\left[\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)\times3+9\right]+\left(y^2-2y+1\right)+2008\)

\(P=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2008\)

Mà  \(\left(x+y-3\right)^2\ge0\)

       \(\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow P\ge2008\)

Dấu " = " xảy ra khi :

\(\hept{\begin{cases}x+y-3=0\\y-1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

Vậy Min P = 2008 khi ( x;y ) = ( 2;1 )

=\(\left(x^2+2xy+y^2\right)-6\left(x+y\right)+9+\left(y^2-2y+1\right)+2008\)

=\(\left(x+y\right)^2-6\left(x+y\right)+9+\left(y-1\right)^2+2008\)

=\(\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2008\ge2008\)

VÌ\(\hept{\begin{cases}\left(y-1\right)^2\ge0\\\left(x+y-3\right)^2\ge0\end{cases}}\)

DẤU BĂNG XẢY RA KHI VÀ CHỈ KHI y=1 và x=2

VẬY GTNN LÀ 2008 TẠI X=2 VÀ Y=1

giúp mình với

Đặt \(x^2+2y^2+2xy-6x-8x+2018=A\)

\(A=x^2+2xy+y^2+y^2-6x-6y-2y+1+9+2008\)

\(A=\left(x+y\right)^2+\left(6x+6y\right)+9+\left(y-1\right)^2+2008\)

\(A=\left[\left(x+y\right)^2-6\left(x+y\right)+9\right]+\left(y-1\right)^2+2008\)

\(A=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2008\)

Vì \(\left(x+y-3\right)^2\ge\forall x\)\(\Rightarrow\left(y-1\right)^2\ge\forall x\)

\(\Rightarrow\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2008\ge2008\Rightarrow A\ge2008\)

GTNN của A = 2008 khi:

\(y-1=0\Leftrightarrow y=1\)

\(x+y-3=0\)

\(\Leftrightarrow x+1-3=0\)

\(\Leftrightarrow x=2\)

Vậy GTNN của A = 2008 khi x = 2 và y = 1

Ta có

\(A=x^2+2y^2+2xy-2x-8y+2017\)

\(=\left(x^2+2xy+y^2\right)-2\left(x+y\right)+1+\left(y^2-6y+9\right)+2007\)

\(=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)+1+\left(y-3\right)^2+2007\)

\(=\left(x+y-1\right)^2+\left(y-3\right)^2+2007\ge2007\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=-2\\y=3\end{cases}}\)

Bài 2: 

a: \(=-\left(x^2+2x-100\right)\)

\(=-\left(x^2+2x+1-101\right)\)

\(=-\left(x+1\right)^2+101< =101\)

Dấu = xảy ra khi x=-1

b: \(=-3\left(x^2-\dfrac{1}{3}x\right)\)

\(=-3\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{36}-\dfrac{1}{36}\right)\)

\(=-3\left(x-\dfrac{1}{6}\right)^2+\dfrac{1}{12}< =\dfrac{1}{12}\)

Dấu = xảy ra khi x=1/6

c: \(=-\left(3x^2+4y^2-18x+8y-12\right)\)

\(=-\left(3x^2-18x+27+4y^2+8y+4-43\right)\)

\(=-3\left(x-3\right)^2-4\left(y+1\right)^2+43< =43\)

Dấu = xảy ra khi x=3 và y=-1

Cứ gom mấy cái 2xy gì đó về làm thành một hằng đẳng thức là được ạ!

\(P=\left(x^2+2xy+y^2\right)-6x-6y+y^2-2y+2019\)

\(=\left[\left(x+y\right)^2-2.\left(x+y\right).3+9\right]+\left(y^2-2y+1\right)+2009\)

\(=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2009\ge2009\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y-3=0\\y=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

Vậy \(P_{min}=2009\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}\)

mình muốn hỏi là tích cho bạn thì làm thế nào

Ti.ck vào chữ Đúng á (chắc thế)

\(P=x^2+2y^2+2xy-6x-8y+2024\)

\(P=x^2+y^2+y^2+2xy-6x-6y-2y+2024\)

\(P=\left(x^2+2xy+y^2\right)-\left(6x+6y\right)+9+y^2-2y+1+2014\)

\(P=\left(x+y\right)^2-2\left(x+y\right)3+3^2+\left(y^2-2y+1\right)+2014\)

\(P=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2014\)

\(P\ge2014\forall x;y\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-3=0\\y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}}\)

Vậy.....

a

à lộn

thôi chịu

\(P=x^2+\left(2xy-6x\right)+2y^2-8y+2029\)

\(P=x^2+2x\left(y-3\right)+\left(y-3\right)^2-\left(y-3\right)^2+2y^2-8y+2029\)

\(P=\left(x+y-3\right)^2-\left(y^2-6y+9\right)+2y^2-8y+2029\)

\(P=\left(x+y-3\right)^2+y^2-2y+1+2019\)

\(P=\left(x+y-3\right)^2+\left(y-1\right)^2+2019\) \(\ge2019\forall x,y\)

\(P=2019\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y-3=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

Vậy Min P = 2019 \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)

1.\(\Leftrightarrow a^2+b^2-ab-a-b+3>0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+6>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+4>0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+4>0\) ( luôn đúng )

Do đó suy ra đpcm