Ptr có nghiệm `<=>\Delta' >= 0`

                       `<=>[-(m+1)^2]-6m+4 >= 0`

                      `<=>m^2+2m+1-6m+4 >= 0`

                      `<=>m^2-4m+5 >= 0<=>(m-2)^2+1 >= 0` (LĐ `AA m`)

`=>` Áp dụng Viét có: `{(x_1+x_2=[-b]/a=2m+2),(x_1.x_2=c/a=6m-4):}`

Có:`(2m-2)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>(x_1+x_2-4)x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>x_1 ^2+x_1 x_2 -4x_1+x_2 ^2-4x_2=4`

`<=>(x_1+x_2)^2-x_1x_2-4(x_1+x_2)=4`

`<=>(2m+2)^2-(6m-4)-4(2m+2)=4`

`<=>4m^2+8m+4-6m+4-8m-8=4`

`<=>4m^2-6m-4=0`

`<=>(2m-3/2)^2-25/4=0`

`<=>|2m-3/2|=5/2`

`<=>[(m=2),(m=-1/2):}`

Lời giải:

a) Ta có:

\(x^2-2(m-1)x+2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-1)-2(m-1)x+2(m-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x+1)-2(m-1)(x-1)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)[x+1-2(m-1)]=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)(x-2m+3)=0\)

Do đó pt có nghiệm \(x=1\)

b) Nghiệm còn lại của PT là: \(x=2m-3\)

Như vậy : \(x_1-x_2=1\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 1-(2m-3)=1\\ (2m-3)-1=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=\frac{3}{2}\\ m=\frac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

Để pt có 2 nghiệm phân biệt thì:

\(\Delta=\left(3m-1\right)^2-4\left(2m^2-m\right)>0\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m+1>0\)

\(\Leftrightarrow m\ne1\)

Theo vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=3m-1\\x_1x_2=2m^2-m\end{cases}}\)

Ta có: \(\left|x_1-x_2\right|-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left|x_1-x_2\right|=2\)

\(\Leftrightarrow x^2_1-2x_1x_2+x^2_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-1\right)^2-4\left(2m^2-m\right)=4\)

 \(\Leftrightarrow m^2-2m-3=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=3\\m=-1\end{cases}}\) 

Bài này không dùng vi_et đúng là dài thật: (hiểu "Tam giác" rồi chính thức gia nhập giải lớp 9 không giao luu nữa")

Bạn ngonhuminh, có cách còn ngắn hơn nhiều nữa kìa.

(Ghi chú: Nếu làm nháp thấy "delta" ra là một bình phương thì chắc chắn pt có nghiệm đẹp.)

Mà nếu biết trước có nghiệm đẹp thì phán một câu như thế này là đủ:

\(x=\frac{3m-1+m-1}{2}=2m-1\) và \(x=\frac{3m-1-\left(m-1\right)}{2}=m\)l là 2 số có tổng bằng "gì đó", tích bằng "gì đó" nên là nghiệm pt trên.

Tới đây giải như sau:

Do biểu thức \(\left|x_1-x_2\right|-2\) đối xứng theo 2 biến nên không mất tính tổng quát giả sử \(x_1=2m-1,x_2=m\).

(Giải tiếp)

Lời giải:

Ta thấy $\Delta'=(m+1)^2-(6m-4)=(m-2)^2+1>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm pb $x_1,x_2$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2(m+1)\\ x_1x_2=6m-4\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$(2m-2)x_1+x_2^2-4x_2=4$

$x_2^2-2(m+1)x_2+6m-4=0$

$\Rightarrow 2(m+1)x_2-4x_2+(2m-2)x_1-6m=0$ (trừ theo vế)

$\Leftrightarrow (2m-2)(x_1+x_2)=6m$

$\Leftrightarrow (2m-2)(2m+2)=6m$

$\Leftrightarrow 2m^2-2-3m=0$

$\Rightarrow m=2$ hoặc $m=-\frac{1}{2}$ (thỏa mãn)

Vậy.........