Vì \(AB//CF\) ,áp dụng định lí Talet: 

\(\dfrac{AE}{EF}=\dfrac{BE}{EC}\Rightarrow\dfrac{AE}{AF}=\dfrac{BE}{BC}\Rightarrow\dfrac{AE^2}{AF^2}=\dfrac{BE^2}{BC^2}\\ \Rightarrow\dfrac{AE^2}{AF^2}=\dfrac{AE^2-AB^2}{BC^2}=\dfrac{AE^2}{BC^2}-\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2\left(pytago\right)\\ \Rightarrow\dfrac{AE^2}{AF^2}=\dfrac{AE^2}{BC^2}-9=\dfrac{AE^2}{\dfrac{1}{9}AB^2}-9\\ \Rightarrow\dfrac{AE^2}{AF^2}+9=\dfrac{9AE^2}{AB^2}\\ \Rightarrow\dfrac{1}{AF^2}+\dfrac{9}{AE^2}=\dfrac{9}{AB^2}\)

a)Xét \(\Delta APD\) và \(\Delta AEB\) có:

\(\widehat{ADP}=\widehat{ABE}=90^o\)

AD = AB ( hvABCD)

\(\widehat{PAD}=\widehat{EAB}\) (cùng phụ \(\widehat{DAE}\))

=> \(\Delta APD\) = \(\Delta AEB\)  (gcg)

=>AP=AE

mà \(\widehat{PAE}=90^o\left(gt\right)\)

=>\(\Delta APE\) vuông cân tại A

b) Xét \(\Delta APF\) vuông tại A có:

\(\dfrac{1}{AP^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\) ( hệ thức lượng trong tam giác vuông )

mà AP=AE ; AD=AB

=>\(\dfrac{1}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AB^2}\)

Vì AB//CF( ABCD là HCN) \(\Rightarrow\dfrac{AB}{AE}=\dfrac{CF}{EF}\)( theo định lý thales)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^2}{AE^2}=\dfrac{CF^2}{EF^2}\)

có: AD//CE nên \(\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{CE}{EF}\)(hệ quả định lý thales)\(\Rightarrow\dfrac{AD^2}{AF^2}=\dfrac{CE^2}{EF^2}\)

do đó \(\dfrac{AB^2}{AE^2}+\dfrac{AD^2}{AF^2}=\dfrac{CE^2+CF^2}{EF^2}=1\)

mà AB=m.AD.---> thay vào ta có:

\(\dfrac{m^2.AD^2}{AE^2}+\dfrac{AD^2}{AF^2}=1\Leftrightarrow\dfrac{m^2}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}=\dfrac{1}{AD^2}\)

Nhân thêm với m². \(\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{m^2}{\left(AD.M\right)^2}=\dfrac{m^2}{AB^2}\)

Ta có đpcm

P/s: có hứng mới làm thôi nhá :v

\(a)\) Xét tam giác vuông ADM và tam giác vuông BAF có : 

\(AD=AB\) ( do ABCD là hình vuông ) 

\(\widehat{DAM}=\widehat{ABF}\) \(\left(=90^0-\widehat{BAF}\right)\)

Do đó : \(\Delta ADM=\Delta BAF\) ( cạnh góc vuông - góc nhọn ) 

Suy ra : \(DM=AF\) ( 2 cạnh tương ứng ) 

Mà \(AE=AF\)(GT) \(\Rightarrow\)\(DM=AE\)

Tứ giác AEMD có : \(DM=AE\)\(;\)\(DM//AE\) ( do \(AB//CD\) ) và có \(\widehat{ADC}=90^0\) nên AEMD là hình chữ nhật 

Vậy AEMD là hình chữ nhật 

\(b)\) Xét \(\Delta HAB\) và \(\Delta HFA\) có : 

\(\widehat{ABH}=\widehat{FAH}\) ( do \(\widehat{ABF}=\widehat{DAM}\) theo câu a )                              *(góc DÂM -_- haha)*

\(\widehat{BHA}=\widehat{AHF}\) \(\left(=90^0\right)\)

Do đó : \(\Delta HAB~\Delta HFA\) \(\left(g-g\right)\)

Suy ra : \(\frac{HB}{AH}=\frac{AB}{AF}\) ( các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ) 

Mà \(AB=BC;AF=AE\left(=DM\right)\) nên \(\frac{HB}{AH}=\frac{BC}{AE}\)

Lại có : \(\widehat{HAB}=90^0-\widehat{FAH}=90^0-\widehat{ABH}=\widehat{HBC}\)\(\Rightarrow\)\(\widehat{HAB}=\widehat{HBC}\)

Xét \(\Delta CBH\) và \(\Delta EAH\) có : 

\(\frac{HB}{AH}=\frac{BC}{AE}\)

\(\widehat{HAB}=\widehat{HBC}\)

Do đó : \(\Delta CBH~\Delta EAH\) \(\left(c-g-c\right)\)

Vậy \(\Delta CBH~\Delta EAH\)

\(c)\) \(\Delta ADM\) có \(CN//AD\) và cắt \(AM;DM\) nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có : 

\(\frac{CN}{AD}=\frac{MN}{AM}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD}{AM}=\frac{CN}{MN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD^2}{AM^2}=\frac{CN^2}{MN^2}\) \(\left(1\right)\)

\(\Delta ABN\) có \(CM//AB\) và cắt \(AN;BN\) nên theo hệ quả định lý Ta-let ta có : 

\(\frac{MN}{AN}=\frac{MC}{AB}\) hay \(\frac{MN}{AN}=\frac{MC}{AD}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD}{AN}=\frac{MC}{MN}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{AD^2}{AN^2}=\frac{MC^2}{MN^2}\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : \(\frac{AD^2}{AM^2}+\frac{AD^2}{AN^2}=AD^2\left(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\right)=\frac{CN^2}{MN^2}+\frac{MC^2}{MN^2}=\frac{CN^2+MC^2}{MN^2}=\frac{MN^2}{MN^2}=1\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}=\frac{1}{AD^2}\) ( đpcm ) 

Vậy \(\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AM^2}+\frac{1}{AN^2}\)

bài này có 1 ý thui à bạn 

Vẽ AM ⊥ AF cắt tia CB tại M.
△AME vuông tại A, đg cao AB: \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{AM^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\) (1)
Xét ΔABM vuông tại B và ΔADF vuông tại D có: góc MAB = góc FAD (cùng phụ góc BAE)
⇒ △ABM ∽ △ADF (g.g)
⇒ \(\dfrac{AM}{AF}\) = \(\dfrac{AB}{AD}\) = 2
⇒ AM = 2AF (2)
(1)(2) ⇒ \(\dfrac{1}{AB^2}\) = \(\dfrac{1}{4AF^2}\)+\(\dfrac{1}{AE^2}\)