\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)^2\ge3\left(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}\right)=\dfrac{3\left(x+y+z\right)}{xyz}\Rightarrow x+y+z\ge\dfrac{3}{xyz}\)

\(x+y+z=\dfrac{x+y+z}{3}+\dfrac{2\left(x+y+z\right)}{3}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)+\dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{xyz}\ge\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{9}{x+y+z}\right)+\dfrac{2}{xyz}=\dfrac{3}{x+y+z}+\dfrac{2}{xyz}\left(đpcm\right)\)

\(dấu"="xảy\) \(ra\Leftrightarrow x=y=z=1\)

1/ Đây là cách chứng minh dựa vào kiến thức lớp 9, không sử dụng các định lý hàm sin hoặc hàm cos của cấp 3:

Bạn tự vẽ hình.

Kẻ tam giác ABC với đường cao AH, ta đặt

\(BC=a;AC=b;AB=c;AH=h_a;BH=x\Rightarrow CH=a-x\)

Trong tam giác vuông ABH: \(AB^2=BH^2+AH^2\Rightarrow c^2=x^2+h^2_a\) (1)

Trong tam giác vuông ACH: \(AC^2=CH^2+AH^2\Rightarrow b^2=\left(a-x\right)^2+h^2_a\) (2)

Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta được:

\(c^2-b^2=x^2-\left(a-x\right)^2=2ax-a^2\Rightarrow x=\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\)

Thay x vào (1) ta được:

\(h^2_a=c^2-x^2=c^2-\left(\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)^2=\left(c-\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\left(c+\dfrac{a^2-b^2+c^2}{2a}\right)\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a^2-2ac+c^2\right)\right)\left(a^2+2ac+c^2-b^2\right)}{4a^2}\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b^2-\left(a-c\right)^2\right)\left(\left(a+c\right)^2-b^2\right)}{4a^2}\)

\(\Rightarrow h_a^2=\dfrac{\left(b+c-a\right)\left(a+b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a-b+c\right)}{4a^2}\) (3)

Gọi \(p=\dfrac{a+b+c}{2}\) là nửa chu vi tam giác

\(\Rightarrow a+b+c=2p\) ; \(a+b-c=2\left(p-c\right)\) ; \(b+c-a=2\left(p-a\right)\) ; \(a-b+c=2\left(p-b\right)\)

Thay vào (3) ta được:

\(h_a^2=\dfrac{2\left(p-a\right)2\left(p-c\right)2p.2\left(p-b\right)}{4a^2}=\dfrac{4p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}{a^2}\)

\(\Rightarrow h_a=\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}\)

Mà ta đã biết công thức tính diện tích tam giác:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH.BC=\dfrac{1}{2}h_a.a\)

\(\Rightarrow S=\dfrac{1}{2}\dfrac{2\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}}{a}.a=\sqrt{p\left(p-a\right)\left(p-b\right)\left(p-c\right)}\)

Bài 2:

Áp dụng đẳng thức : \(a^2+b^2\ge2ab\) (xảy ra đẳng thức khi a = b),ta có :

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}\ge2.\dfrac{x}{y}.\dfrac{y}{z}=\dfrac{2x}{z}\)

Tương tự : \(\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{2y}{z}\), \(\dfrac{z^2}{x^2}+\dfrac{x^2}{y^2}\ge\dfrac{2z}{y}\)

Cộng từng vế 3 BĐT trên ta được :

\(2\left(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\right)\ge2\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\right)\Rightarrow\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\left(\text{đpcm}\right)\)

1 Tham khảo :

*Công thức hê rông:
S= căn của : [ p.( p-a) . (p- b). (p -c) ] với : p = ( a + b +c )/2 , a ,b ,c là các cạnh của tam giác

S = 1/2.bc.sinC <=> 4S² = b²c².sin²A
4S² = b²c²(1 - cos²A) = b²c²(1 - cosA)(1 + cosA)
= b²c²[1 - (b² + c² - a²)/2bc].[1 + (b² + c² - a²)/2bc]
= b²c²(2bc - b² - c² + a²)/2bc.(2bc + b² + c² - a²)/2bc
<=> 16S² = [a² - (b - c)²].[(b + c)² - a²]
= (a + b - c)(a - b + c)(b - c + a)(b + c - a)
<=>16S² = 16p(p - a)(p - b)(p - c)
<=> S = √p(p - a)(p - b)(p - c)

1.Ta có :\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\)

\(=x^2-xy+y^2\) (do x+y=1)

\(=\dfrac{3}{4}\left(x-y\right)^2+\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{1}{4}\left(x+y\right)^2\)\(=\dfrac{1}{4}.1=\dfrac{1}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi :\(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(x^3+y^3\ge\dfrac{1}{4}\)

2.

a) Sửa đề: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^3-a^2b\right)+\left(b^3-ab^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)+b^2\left(b-a\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng vì \(a,b\ge0\))

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)

b) Lần trước mk giải rồi nhá

3.

a) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel\(P=\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\ge\dfrac{\left(1+1+1\right)^2}{\left(x+y+z\right)+3}=\dfrac{9}{3+3}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{1}{y+1}=\dfrac{1}{z+1}\\x+y+z=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=1\)

b) \(Q=\dfrac{x}{x^2+1}+\dfrac{y}{y^2+1}+\dfrac{z}{z^2+1}\le\dfrac{x}{2\sqrt{x^2.1}}+\dfrac{y}{2\sqrt{y^2.1}}+\dfrac{z}{2\sqrt{z^2.1}}\)

\(=\dfrac{x}{2x}+\dfrac{y}{2y}+\dfrac{z}{2z}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x^2=y^2=z^2=1\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};\dfrac{1}{c}\right)\Rightarrow abc=1\)

\(P=\dfrac{a^2bc}{b+c}+\dfrac{ab^2c}{c+a}+\dfrac{abc^2}{a+b}=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\)

\(P=\dfrac{a^2}{ab+ac}+\dfrac{b^2}{bc+ab}+\dfrac{c^2}{ac+bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{3\left(ab+bc+ca\right)}{2\left(ab+bc+ca\right)}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Áp dụng AM-GM có

\(\dfrac{x^3}{y^2}+y+y\ge3\sqrt[3]{\dfrac{x^3}{y^2}.y.y}=3x\)

Tương tự . \(\dfrac{y^3}{z^2}+z+z\ge3y\); \(\dfrac{z^3}{x^2}+x+x\ge3z\)

cộng lại ta được

\(VT+2\left(x+y+z\right)\ge3\left(x+y+z\right)\rightarrow VT\ge x+y+z=VP\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z\)

\(VT=\dfrac{x^2}{x^2+2xy+3zx}+\dfrac{y^2}{y^2+2yz+3xy}+\dfrac{z^2}{z^2+2zx+3yz}\)

\(VT\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2+5xy+5yz+5zx}=\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+\left(x+y+z\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)

Chứng minh bằng phép biến đổi tương đương:

1.

\(\Leftrightarrow4+x+y\ge4\sqrt{x+y}\)

\(\Leftrightarrow x+y-4\sqrt{x+y}+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+y}-2\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã cho đúng

2.

\(\Leftrightarrow\dfrac{y+z}{xyz}\ge\dfrac{4}{x^2+yz}\)

\(\Leftrightarrow\left(y+z\right)\left(x^2+yz\right)\ge4xyz\)

\(\Leftrightarrow x^2y+x^2z+y^2z+z^2y-4xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x^2+z^2-2xz\right)+z\left(x^2+y^2-2xy\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow y\left(x-z\right)^2+z\left(x-y\right)^2\ge0\) (đúng)