Cho tam giác abc nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính bằng 3, AC = 4. Điểm M thỏa mãn đẳng thức \(\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}\) . tính BM

Cho nửa đường tron tâm O đường kính AB=2R. Gọi C là trung điểm AO, vẽ tia Cx vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại I. Lấy K là điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI ( K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn tại M, tia BM cắt tia Cx tại D. Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tại M cắt Cx tại N.

a) Chứng minh rằng: Tam giác KMN là tam giác cân

b) Tính diện tích tam giác ABD theo R khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI

c) Khi K di động trên đoạn thẳng CI. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua điểm cố định thứ hai khác A.

Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=3\left(1\right)\\x^3+y^3+z^3=3\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\dfrac{8x+3}{4x^2+1}\)

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao BE nội tiếp (O). Vẽ đường kính BD của (O). Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD và AO tại I và H.

a/ Chứng minh rằng: BH.BI = \(2R^2\)

b/ M là trung điểm AB, lấy N thuộc tia đối của tia OA sao cho ON \(=\dfrac{R}{2}\). Chứng minh: AMNC nội tiếp

c/ Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh đường thẳng KE đi qua trung điểm của OI