+Chứng minh:
\(n^5-n\text{ }⋮\text{ }30\text{ }v\text{ới }n\in N\)
\(n^4-10n^2+9\text{ }⋮\text{ }384\text{ }v\text{ới }n\text{ }l\text{ẻ }\left(n\in Z\right)\)
\(10^n+18n-28\text{ }⋮\text{ }27\text{ }v\text{ới }n\in N\)
+Chứng minh:
\(n^4-10n^2+9\text{ }⋮\text{ }384\text{ }v\text{ới }n\text{ }l\text{ẻ }\left(n\in Z\right) \)
Vì n lẻ nên n=2k+1
\(n^4-10n^2+9\)
\(=\left(n^2-1\right)\left(n^2-9\right)\)
\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-3\right)\left(n+3\right)\)
\(=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1-3\right)\left(2k+1+3\right)\)
\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\cdot\left(2k-2\right)\cdot\left(2k+4\right)\)
\(=16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)\)
Vì k-1;k+1;k;k+2 là bốn số liên tiếp
nên \(\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)\cdot\left(k+2\right)⋮4!=24\)
\(\Leftrightarrow16k\left(k+1\right)\left(k-1\right)\left(k+2\right)⋮384\)
+Chứng minh:
\(10^n+18n-28\text{ }⋮\text{ }27\text{ }v\text{ới }n\in N\)
Chứng minh A= 10 ^n + 18n - 1 chia hết cho 27
Ta có: 10^n + 18n - 1 = (10^n - 1) + 18n = 99...9 + 18n (số 99...9 có n chữ số 9)
= 9(11...1 + 2n) (số 11...1 có n chữ số 1) = 9.A
Xét biểu thức trong ngoặc A = 11...1 + 2n = 11...1 - n + 3n (số 11...1 có n chữ số 1).
Ta đã biết một số tự nhiên và tổng các chữ số của nó sẽ có cùng số dư trong phép chia cho 3. Số 11...1 (n chữ số 1) có tổng các chữ số là 1 + 1 + ... + 1 = n (vì có n chữ số 1).
=> 11...1 (n chữ số 1) và n có cùng số dư trong phép chia cho 3 => 11...1 (n chữ số 1) - n chia hết cho 3 => A chia hết cho 3 => 9.A chia hết cho 27 hay 10^n + 18n - 1 chia hết cho 27 (đpcm)
+Chứng minh:
\(n^5-n\text{ }⋮\text{ }30\text{ }\text{ }v\text{ới }n\in N\)
Ta có
\(n^5-n=n\left(n^4-1\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n^2+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4+5\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
\(=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\)+\(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)
--Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n-2\right)\left(n-1\right)\)là tích của 5 số nguyên liên tiếp
=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 2;3;5
=> \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)\) chia hết cho 30 (*)
-- vì \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) là tích của 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\) chia hết cho 2; 3
\(\Rightarrow n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮6\)
=> \(5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮5.6=30\) (**)
từ * và ** => \(n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n-2\right)\left(n+2\right)+5n\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮30\)
hay \(n^5-n⋮30\left(đpcm\right)\)
like nhoa !!
Cho \(\left\{{}\begin{matrix}\text{x, y, z > 0}\\\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\). Tìm \(\min\limits_P=\dfrac{1}{\alpha\text{a}+\beta b+\gamma c}+\dfrac{1}{\beta\text{a}+\gamma b+\alpha c}+\dfrac{1}{\gamma\text{a}+\alpha b+\beta c} v\text{ới} \alpha; \beta;\text{ \gamma}\in\) \(\mathbb{N}^*\)
1.Tìm a,b: 2ab34\(⋮\)99
2.Tìm \(n\in N\) để : \(3+4+5+...+n=375\)
3.Chứng tỏ rằng : \(\left(n+2016\right)\left(n+2017\right)\left(n+2018\right)\) \(v\text{ới}\)\(n\in N\)
4.Tìm \(n\in N\)biết: a) \(3n+10⋮n+1\) b) \(n^2⋮n+1\)
5.Tìm abcd và n biết: a) abcd0 -1110n = abcd b) 4572 - abc = abcd
6. Tìm số tự nhiên a biết chia a cho 72 được dư 69, chia a cho 18 thì thương bằng số dư
\(Gi\text{úp}\)\(mk\)\(nha\)\(m\text{ọi}\)\(ng\text{ư}\text{ời}\)
\(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...........+\frac{1}{\left(2n\right)^2}< 4\left(v\text{ới}n\in N;n\ge2\right)\)
Đề là chứng minh N < 1/4 sẽ đúng hơn
Ta có :
\(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+...+\frac{1}{\left(2n\right)^2}\)
\(\Rightarrow2^2.N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\)
Ta lại có :
\(4N=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}=1-\frac{1}{n}\)
\(\Rightarrow N< \left(1-\frac{1}{n}\right):4=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n}\right)\)
Mà \(n\in N;n\ge2\)=> 1 -\(\frac{1}{n}\)< 1
=> \(N< \frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}\)
=> \(N< \frac{1}{4}\)( đpcm )
Thank you very much
Chứng minh \(n^3+6n^2+8n\text{ }⋮\text{ }48\text{ }\left(n\text{ }ch\text{ẵn}\right)\)
Biến đổi thành : \(n\left(n+2\right)\left(n+4\right)\) rồi thay n=2k vào ta được 8k(k+1)(k+2)
+Chứng minh:
\(n^3+6n^2+8n\text{ }⋮\text{ }48\text{ }\left(n\text{ }ch\text{ẵn}\right)\)
48 =3.16 =3.2.8
cần c/m chia hết ch 3.2.8
\(\left\{{}\begin{matrix}A=n^3+6n^2+8n\\n=2k;k\in Z\end{matrix}\right.\)
\(A=8.k^3+24k^2+16k=8k\left(k^2+3k+2\right)\)
\(A=8k\left[k^2-1+3k+3\right]=8k\left(k-1\right)\left(k+1\right)+8.3.k\left(k+1\right)\)
\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)
có k(k+1)(k+2) ba số nguyên liên tiếp => chia hết cho 6
=> A chia hết cho 8.6 =48 => dpcm
\(N=\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+.......+\frac{1}{\left(2n\right)^2}< 4\left(v\text{ới}n\in N;n\ge2\right)\)\(2\)