dat m = 3k + r voi 0 \(\le\)r \(\le\) 2 va n = 3t + s

=> x^m  + xⁿ + 1  = x^{3k + r} + x^{3t +s} + 1 = x^3k. x^r - x^r + x^3t . x^s - x^s + x^r + x^s +1

                                                     = x^r ( x^3t -1) + x^s ( x^3t - 1) + x^r + x^s + 1

ta thay: x^3k-1 \(⋮\)  \(\left(x^2+x+1\right)\)va \(\left(x^{3t}-1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\) 

vay \(\left(x^m+x^n+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)voi \(0\le r;s\le2\)

\(\Leftrightarrow r=2;x=1\Rightarrow m=3k+2;n=3t+1\)

\(r=1;s=2\Rightarrow m=3k+1;n=3t+2\)

\(\Leftrightarrow mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\)

\(mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\)

\(\Rightarrow\left(mn-2\right)⋮3\)

ap dung:  \(m=7;n=2;\Rightarrow mn-2=12⋮3\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)

⇒xm+xn+1=x3k+r+x3t+s+1=x3k.xr−xr+x3t.xs−xs+xr+xs+1

                                                                       =xr(x3t−1)+xs(x3t−1)+xr+xs+1

Ta thấy: (x3k−1)chia hết (x2+x+1)và (x3t−1) chia hết (x2+x+1)

Vậy: (xm+xn+1)chia hết (x2+x+1)

⇔(xr+xs+1)chia hết (x2+x+1)với 0≤r;s≤2

⇔r=2;x=1⇒m=3k+2;n=3t+1

      r=1;s=2⇒m=3k+1;n=3t+2

⇔mn−2=(3k+2)(3t+1)−2=9kt+3k+6t=3(3kt+k+2t)

      mn−2=(3k+1)(3t+2)−2=9kt+6k+3t=3(3kt+2k+t)

⇒mn−2chia hết cho 3.

Áp dụng:m=7;n=2⇒mn−2=12chia hết cho 3

⇒(x7+x2+1) chia hết cho (x2+x+1)

các bạn CTV vô đây giải bài này vs :(

Bây giờ mình sẽ trả lời chính câu hỏi của mình để các bạn tham khảo:

Đặt: \(m=3k+r\) với \(0\le r\le2\)và \(n=3t+s\)

\(\Rightarrow x^m+x^n+1=x^{3k+r}+x^{3t+s}+1\)\(=x^{3k}.x^r-x^r+x^{3t}.x^s-x^s+x^r+x^s+1\)

                                                                       \(=x^r\left(x^{3t}-1\right)+x^s\left(x^{3t}-1\right)+x^r+x^s+1\)

Ta thấy: \(\left(x^{3k-1}\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)và \(\left(x^{3t}-1\right)\) chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)

Vậy: \(\left(x^m+x^n+1\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)\)chia hết \(\left(x^2+x+1\right)\)với \(0\le r;s\le2\)

\(\Leftrightarrow r=2;x=1\Rightarrow m=3k+2;n=3t+1\)

      \(r=1;s=2\Rightarrow m=3k+1;n=3t+2\)

\(\Leftrightarrow mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\)

      \(mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\)

\(\Rightarrow mn-2\)chia hết cho \(3\).

Áp dụng:\(m=7;n=2\Rightarrow mn-2=12\)chia hết cho 3

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)\) chia hết cho \(\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right):\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)

Bạn chứng minh hộ mình

\(x^{3t}-1\) chia hết cho \(x^2+x+1\) với 

What grade are you?

Sai rồi còn bày đặt Tiếng Anh .Lần sau không biết thì im đi không lại bị người ta nói cho 

What grade are you in ? Okay

http://lazi.vn/edu/exercise/biet-rang-da-thuc-px-chia-het-cho-da-thuc-x-a-khi-va-chi-khi-pa-0-hay-tim-cac-gia-tri-cua-m-va-n

Bài tham khảo:

Theo bài ta có :

\(P\left(x\right)⋮\left(x-1\right)\) \(\Rightarrow P\left(1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m+m+1-4n-3+5n=0\)

\(\Leftrightarrow2m+n=2\) (1)

Lại có \(P\left(x\right)⋮\left(x+2\right)\Rightarrow P\left(-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow4m+4\left(m+1\right)-\left(4n+3\right).\left(-2\right)+5n=0\)

\(\Leftrightarrow8m+13n=-12\) (2)

Giải hệ (1) và (2) suy ra \(m=\frac{19}{9};n=\frac{-20}{9}\)

Ai hack nick mình thì trả lại đi !!!

nick : 

​​Ai hack hộ mình rồi gửi cho mình nhé mình cảm ơn 

Ai là bạn của mình chắn chắn biết nên vào phần bạn bè hỏi mình mới là chủ nick 

Mong olm xem xét ko cho ai hack nick nhau nữa ạ! Xin chân thành cảm ơn !

LInk : https://olm.vn/thanhvien/lehoangngantoanhoc

Đặt \(m=3k+r\left(0\le r\le2\right)\)

\(n=3t+s\left(0\le t\le2\right)\)

\(x^m+x^n+1=x^{3k+r}+x^{3t+s}+1\)\(=x^{3k}\cdot x^r-x^r+x^{3t}\cdot x^s-x^s+x^r+x^s+1=x^r\left(x^{3k}-1\right)+x^s\left(x^{3t}-1\right)+x^r+x^s+1\)

Ta thấy \(\left(x^{3k}-1\right)⋮x^2+x+1\)và \(\left(x^t-1\right)⋮x^2+x+1\)

Vậy \(\left(x^m+x^n+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x^r+x^s+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)với \(0\le r;s\le2\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}r=2\\r=1\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}m=3k+2\\m=3k+1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}s=1\\s=2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=3t+1\\m=3t+2\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}mn-2=\left(3k+2\right)\left(3t+1\right)-2=9kt+3k+6t=3\left(3kt+k+2t\right)\\mn-2=\left(3k+1\right)\left(3t+2\right)-2=9kt+6k+3t=3\left(3kt+2k+t\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(mn-2\right)⋮3\left(đpcm\right)\)

Ap dụng \(m=7;n=2\Rightarrow mn-2=12⋮3\)

\(\Rightarrow\left(x^7+x^2+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^m+x^n+1\right)⋮\left(x^2+x+1\right)=x^5+x^4+x^2+x+1\)

@ Bình ơi. Cái dòng thứ 8 của em cô chưa hiểu lắm.

\(\hept{\begin{cases}r=2\\r=1\end{cases}}\) ? Cái này không đúng rồi. Em xem và giải thích lại nhé!

câu này chịu

bố nó biết

mình mới học lớp 5 mà

a) Ta có: \(\left|\left|2x+1\right|-2\right|=3\)

\(\Leftrightarrow\left|2x+1\right|-2=3\)

\(\Leftrightarrow\left|2x+1\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x+1=5\\2x+1=-5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x=4\\2x=-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

\(x^3=x^3-1+1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)+1\)

\(\Rightarrow x^3\equiv1\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\) 

Và \(xQ\left(x^3\right)\equiv xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)

\(\Rightarrow P\left(x^3\right)+xQ\left(x^3\right)\equiv P\left(1\right)+xQ\left(1\right)\left(\text{mod }x^2+x+1\right)\)  với mọi x nguyên

\(\Rightarrow P\left(1\right)+x.Q\left(1\right)\) chia hết \(x^2+x+1\) với mọi x nguyên

Điều này xảy ra khi và chỉ khi \(P\left(1\right)=Q\left(1\right)=0\)

\(\Rightarrow P\left(x\right)\) có nghiệm \(x=1\) hay \(P\left(x\right)\) chia hết cho \(x-1\)