a, Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông MBH có

góc MBH = góc ABH (do BH là phân giác góc B)

HB chung

=> Tam giác vuông ABH = tam giác vuông MBH ( ch - gn )

b, Từ câu a, sẽ có HM = HA ( cạnh tương ứng)

=> H thuộc trung trực của AM⁽¹⁾

Ta còn có BM = BA ( cạnh tương ứng )

=> B thuộc trung trực của AM ⁽²⁾

Từ (1) và (2) suy ra BH là trung trực của AM

c, Xét tam giác BCN

có NM vuông góc với BC => NM là đường cao ứng với cạnh BC

có CA vuông góc với BN => CA là đường cao ứng với cạnh BN

mà chúng giao nhau ở H nên H là trực tâm 

nên BH là đường cao ứng với cạnh CN

=> BH vuông góc với CN mà BH còn vuông góc với AM (BH là trung trực của AM)

=> CN song song với AM

d, Từ câu trên ta đã chứng minh BH vuông góc vói CN 

a: Xét ΔAIB và ΔAIC có

AB=AC

IB=IC

AI chung

=>ΔAIB=ΔAIC

b: ΔABC cân tại A

mà AI là trung tuyến

nên AI vuông góc CB

c: Xét ΔABM và ΔACN co

AB=AC

góc ABM=góc ACN

BM=CN

=>ΔABM=ΔACN

=>AM=AN

Hình vẽ:

Lời giải:

Kẻ $MT\perp AC$

Xét tam giác $ABH$ và $AMH$ có:

$\widehat{BAH}=\widehat{MAH}$

$\widehat{AHB}=\widehat{AHM}$

$AH$ chung

$\Rightarrow \triangle ABH=\triangle AMH$ (c.g.c)

$\Rightarrow BH=HM$

Tương tự ta cũng cm được: $\triangle AMH=\triangle AMT$ (ch-gn)

$\Rightarrow HM=MT$

Do đó: $BH=HM=MT (=\frac{1}{2}BM$)

Mà $BM=MC$ nên $MT=\frac{1}{2}MC$

Xét tam giác $MTC$ vuông tại $T$ có $MT=\frac{1}{2}MC$ nên $\widehat{C}=30^0$

Xét tam giác $AHC$ vuông tại $H$ có $\widehat{C}=30^0$ nên $\widehat{HAC}=60^0$

Mà $\widehat{HAC}=\frac{2}{3}\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAC}=90^0$

Còn lại $\widehat{B}=60^0$

a) Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHA vuông tại H có 

\(\widehat{ABH}\) chung

Do đó: ΔBAD\(\sim\)ΔBHA(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{BA}{BH}=\dfrac{BD}{BA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AB^2=BH\cdot BD\)(đpcm)

a, Xét tam giác AHB và tam giác AKC có 

^A_chung 

AB = AC 

Vậy tam giác AHB ~ tam giác AKC ( ch-gn ) 

=> AH = AK ( 2 cạnh tương ứng )

b, Xét tam giác ABC cân tại A

có BH ; CK lần lượt là đường cao 

mà BK giao CK = D vậy D là trực tâm 

hay AD là đường cao thứ 3 trong tam giác 

=> AD đồng thời là đường phân giác 

c, Ta có AH = AK ; AB = AC 

=> HK // BC ( Ta lét đảo _)

Không thể

Bởi vì A kéo xuống trung điểm BC sẽ chia góc A thành 2 phần bằng nhau, không biến nó thành 3 phần bằng nhau được nữa.