a) Xét ΔHBA vuông tại H và ΔABC vuông tại A có 

\(\widehat{B}\) chung

Do đó: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(g-g)

b) Áp dụng định lí Pytago vào ΔABC vuông tại A, ta được:

\(AB^2+AC^2=BC^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2=3^2+4^2=25\)

hay BC=5(cm)

Ta có: ΔHBA\(\sim\)ΔABC(cmt)

nên \(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{AH}{CA}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(\dfrac{BH}{3}=\dfrac{3}{5}=\dfrac{AH}{4}\)

Suy ra: BH=1,8cm; AH=2,4cm

Ta có: góc ABC = góc BAC + góc ACB (Tam giác abc vuông tại a)

=>      BC          = AB + AC (Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện)

=>      BC + AH > AB + AC

Hay    AB + AC < BC + AH                

\(a,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC\\ \Rightarrow AB\cdot AC=AH\cdot BC\\ b,AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=12\left(cm\right)\left(pytago\right)\\ \Rightarrow S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AB\cdot AC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot12=30\left(cm\right)\\ AH\cdot BC=AB\cdot AC\Rightarrow AH=\dfrac{5\cdot12}{13}=\dfrac{60}{13}\left(cm\right)\\ BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\dfrac{25}{13}\left(cm\right)\left(pytago\right)\)

a: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHBA vuông tại H có

góc B chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHBA

b: Xét ΔABC vuông tại A và ΔHAC vuông tại H có

góc C chung

=>ΔABC đồng dạng với ΔHAC

c: ΔABC đồng dạng với ΔHBA

ΔABC đồng dạng với ΔHAC

=>ΔHBA đồng dạng với ΔHAC

d: ΔABC đồng dạng với ΔHBA

=>BA/BH=BC/BA

=>BA^2=BH*BC

ΔABC đồng dạng với ΔHAC

=>CA/CH=CB/CA

=>CA^2=CH*CB

\(S_{ABC}=\dfrac{AH\cdot BC}{2}=\dfrac{AB\cdot AC}{2}\)

Do đó: \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow\left(BC+AH\right)^2>\left(AB+AC\right)^2\)

\(\Leftrightarrow BC^2+2\cdot BC\cdot AH+AH^2>AB^2+AC^2+2\cdot AB\cdot AC\)

\(\Leftrightarrow BC^2+2\cdot AB\cdot AC+AH^2-BC^2-2\cdot AB\cdot AC>0\)

\(\Leftrightarrow AH^2>0\)(luôn đúng)

a, Xét tam giác ABC và tam giác HBA có 

^B _ chung ; ^BAC = ^HBA = 90⁰

Vậy tam giác ABC ~ tam giác HBA (g.g) 

b, Xét tam giác AHC và tam giác BHA ta có 

^AHC = ^BHA = 90⁰

^HAC = ^HBA ( cùng phụ ^HAB ) 

Vậy tam giác AHC ~ tam giác BHA (g.g) 

\(\dfrac{AH}{BH}=\dfrac{HC}{AH}\Rightarrow AH^2=HC.HB\)

Tam giác ABC vuông tại A nên \(BC^2=AB^2+AC^2\)\(\Rightarrow\)\(BC^2-AB^2-AC^2=0\)

Mặt khác \(2AH.BC=2AB.AC\) (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC).

BĐT cần CM tương đương với (AH + BC)² > (AB + AC)² 

hay \(AH^2+BC^2+2AH.BC>AB^2+AC^2+2AB.AC\)

\(\Leftrightarrow\)\(AH^2+\left(BC^2-AB^2-AC^2\right)+\left(2AH.BC-2AB.AC\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\)\(AH^2>0\) (luôn đúng).