Với việc giải:\(\sqrt{a-b\sqrt{c}}\left(a\ge b\sqrt{c}\right)\) thì bạn luôn nhớ rằng phải đưa \(a-b\sqrt{c}\) về một bình phương để bỏ được căn. Cho rằng: \(\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy=a-b\sqrt{c}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=a\\2xy=-b\sqrt{c}\end{matrix}\right.\).
Ví dụ: \(\sqrt{9-4\sqrt{2}}\)thì mình có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=9\\2xy=-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)cho \(x,y\) là hai số: \(2\sqrt{2},-1\) hay \(-2\sqrt{2},1\). Mình sẽ có: \(9-4\sqrt{2}=\left(2\sqrt{2}-1\right)^2\) và từ đó:
\(\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}=\left|2\sqrt{2}-1\right|=2\sqrt{2}-1\) (Lưu ý: giá trị tuyệt đối ở đây vì: \(\sqrt{a^2}=a\left(\forall a\ge0\right)\)).

Vào bài của bạn ta có:
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}}=\sqrt{53-20\sqrt{4+2\sqrt{2}-1}}=\sqrt{53-20\sqrt{3+2\sqrt{2}}}=\sqrt{53-20\left(\sqrt{2}+1\right)}=\sqrt{33-20\sqrt{2}}=5-2\sqrt{2}\)

a) "Giải và biện luận phương trình" Mình không hiểu nên tạm thời cho là tìm x.
Vì hệ số bậc cao nhất là \(1\ne0\) nên:
\(\Delta=4\left(m+1\right)^2-4\left(2m+10\right)=4m^2-36\)
\(x=\dfrac{2\left(m+1\right)\pm\sqrt{4m^2-36}}{2}\)

b)Dùng định lí Viète cho ta:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right).........\left(1\right)\\x_1x_2=2m+10.................\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Trừ (2) cho (1) theo từng vế cho ta:
\(x_1x_2-x_1-x_2=8\)

c) Ta có: \(P=10x_1x_2+x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2+8x_1x_2=\left[2\left(m+1\right)\right]^2+8\left(2m+10\right)=4m^2+24m+84=\left(2m+6\right)^2+48\ge48\)Dấu "=" xảy ra khi \(m=-3\).

Điều kiện: \(y\ge0\).
Từ phương trình (2) cho ta:
\(x+1=\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)^2=y..........................\left(3\right)\\x\ge-1\end{matrix}\right.\)
Thế vào phương trình (1):
\(x^2-5x-\left(x+1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow-7x-1=0\)
\(\Leftrightarrow x=-\dfrac{1}{7}\)
Thế vào phương trình (3) và thử lại ta có:
\(\left(x,y\right)\) là \(\left(-\dfrac{1}{7};\dfrac{36}{49}\right)\).

Ta có: \(x+y=m\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+2xy=m^2\)
\(\Leftrightarrow\left(-m^2+6\right)+2xy=m^2\)
\(\Leftrightarrow xy=m^2-3\)

Vậy \(P=xy+2\left(x+y\right)=m^2+2m-3=\left(m+1\right)^2-4\ge-4\)
Dấu "=" xảy ra khi \(m=-1\).
Kiểm lại, với \(m=-1\), \(\left(x,y\right)\) là \(\left(-2;1\right)\) hay \(\left(1;-2\right)\).

Ta có: \(x^2+2y^2+2xy=y+2\)
\(\Leftrightarrow4x^2+8y^2+8xy-4y-8=0\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+2y\right)^2+\left(2y-1\right)^2=9\)
Vì \(x\), \(y\) là số nguyên nên \(2x+2y\) và \(2y-1\) cũng là số nguyên.
Từ biểu thức trên, ta có: \(0\le\left(2x+2y\right)^2\le9\) do bình phương của một số nguyên luôn là một số chính phương.
Đồng thời, \(\left(2x+2y\right)^2=4\left(x+y\right)^2⋮4\) với mọi \(x\), \(y\) nguyên.
Nên: \(\left(2x+2y\right)^2=4\)
Và: \(\left(2y-1\right)^2=5\)
Nhưng \(\left(2y-1\right)^2\) phải có giá trị là một số chính phương.
Nên: không có \(x\), \(y\) nguyên thỏa đề bài.

a) Điều kiện cần có: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}\ne0\end{matrix}\right.\)
Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{x-1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}\\\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}+\dfrac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)} =\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}\end{matrix}\right.\)Từ đó thế vào bài cho ta:

\(P=\dfrac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\dfrac{\left(\sqrt{x}+1\right)^2}{\sqrt{x}}\)

b) Ta có: \(x=\dfrac{2}{2+\sqrt{3}}=\dfrac{2\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}=4-2\sqrt{3}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}=\sqrt{3}-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}\)

Đưa vào bài, ta có: \(P=\left(\sqrt{3}-1+1\right)^2.\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}+3}{2}\)

Từ đề bài ta có: \(A\left(1;3\right),B\left(-3;-1\right)\in\left(d\right):y=ax+b\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a.1+b=3\\a.\left(-3\right)+b=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\end{matrix}\right.\)