Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{y}=b;\sqrt{z}=c\Rightarrow a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3=1\)

\(=\sum\dfrac{a^{12}}{a^6+b^6}=\sum\dfrac{a^6\left(a^6+b^6\right)}{a^6+b^6}-\sum\dfrac{a^6b^6}{a^6+b^6}\\ =\sum a^6-\sum\dfrac{a^6b^6}{a^6+b^6}\\ \overset{Cosi}{\ge}a^3b^3+b^3c^3+c^3a^2-\sum\dfrac{a^6b^6}{2a^3b^3}\\ =1-\dfrac{1}{2}\sum a^3b^3=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\)

Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\)

\(\left(\sqrt{x};\sqrt{y};\sqrt{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3=3\)

\(\Rightarrow3\ge3\sqrt[3]{\left(ab.bc.ca\right)^3}=3\left(abc\right)^2\Rightarrow a^2b^2c^2\le1\)

Ta có: \(\dfrac{a^{10}}{b^2c^2}+a^2b^2c^2\ge2a^6\)

Tương tự và cộng lại: \(P+3\left(abc\right)^2\ge2\left(a^6+b^6+c^6\right)\)

\(\Rightarrow P\ge2\left(a^6+b^6+c^6\right)-3a^2b^2c^2\ge2\left[\left(ab\right)^3+\left(bc\right)^3+\left(ca\right)^3\right]-3=3\)

TH1:x,y,z=0

TH2:x=2\(\frac{3}{10}\)

y=3\(\frac{5}{6}\)

z=11\(\frac{1}{2}\)

giải ra cơ kết quả mik cx có mà hình như KQ sai rồi

à đúng rồi mà cách giải là sao v chỉ mik vs

#)Góp ý :

   Mời bạn tham khảo :

   http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

   Mình sẽ gửi link này về chat riêng cho bạn !

Tham khảo qua đây nè :

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%Ân-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017

tk cho mk nhé

@Nguyễn Việt Lâm

Bunhiacopxki: \(\left(x^2+yz+zx\right)\left(y^2+yz+zx\right)\ge\left(xy+yz+zx\right)^2\)

\(\Rightarrow\frac{xy}{x^2+yz+zx}\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Thiết lập tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow VT\le\frac{xy\left(y^2+yz+zx\right)+yz\left(z^2+xy+zx\right)+zx\left(x^2+yz+xy\right)}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

\(VT\le\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\)

Ta chỉ cần chứng minh: \(\frac{xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz}{\left(xy+yz+zx\right)^2}\le\frac{x^2+y^2+z^2}{xy+yz+zx}\)

\(\Leftrightarrow xy^3+xy^2z+x^2yz+yz^3+xy^2z+xyz^2+x^3z+xyz^2+x^2yz\le\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2yz+xy^2z+xyz^2\le x^3y+y^3z+z^3x\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{z}+\frac{y^2}{x}+\frac{z^2}{y}\ge x+y+z\) (đúng theo Cauchy-Schwarz)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)

http://diendantoanhoc.net/topic/160455-%C4%91%E1%BB%81-to%C3%A1n-v%C3%B2ng-2-tuy%E1%BB%83n-sinh-10-chuy%C3%AAn-b%C3%ACnh-thu%E1%BA%ADn-2016-2017/

bài của tui mà -_-

hihi k biết làm nên đăng ^^

BĐT của bạn bị ngược dấu, mà có vẻ các mẫu số cũng ko đúng (để ý mẫu số thứ 2 và thứ 3 đều có chung xy+xz ko hợp lý)

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

\(P\ge3\sqrt[3]{\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

\(xy+1=xy+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{xy}{4^4}}\).

Tương tự: \(yz+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{yz}{4^4}};zx+1\ge5\sqrt[5]{\dfrac{zx}{4^4}}\).

Do đó \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)\ge125\sqrt[5]{\dfrac{\left(xyz\right)^2}{4^{12}}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{1}{4^{12}\left(xyz\right)^3}}\).

Mà \(xyz\le\dfrac{\left(x+y+z\right)^3}{27}=\dfrac{1}{8}\)

Nên \(\dfrac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}\ge125\sqrt[5]{\dfrac{8^3}{4^{12}}}=125\sqrt[5]{\dfrac{1}{2^{15}}}=\dfrac{125}{8}\)

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}\).

Vậy...

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM:

P≥33√(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz.

Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:

xy+1=xy+14+14+14+14≥55√xy44.

Tương tự: yz+1≥55√yz44;zx+1≥55√zx44.

Do đó (xy+1)(yz+1)(zx+1)≥1255√(xyz)2412

⇒(xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√1412(xyz)3.

Mà xyz≤(x+y+z)327=18

Nên  (xy+1)(yz+1)(zx+1)xyz≥1255√83412=1255√1215=1258 

⇒P≥152.