Ta có:3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺²=3ⁿ.(3³+3¹)+2ⁿ.(2³+2²)

3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺²=3ⁿ.30+2ⁿ.12=3ⁿ.6.5+2ⁿ.6.2

3ⁿ⁺²+3ⁿ⁺¹+2ⁿ⁺³+2ⁿ⁺²=6.(3ⁿ.5+2ⁿ.2)

⇒đpcm

Sửa đề \(3^{n+2}\rightarrow3^{n+3}\)

Giải:

Gọi \(M=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}\)

Ta có:

\(M=3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}\) 

\(M=3^n.3^3+3^n.3^1+2^n.2^3+2^n.2^2\) 

\(M=3^n.\left(27+3\right)+2^n.\left(8+4\right)\) 

\(M=3^n.30+2^n.12\) 

Vì 30 ⋮ 6 và 12 ⋮ 6

Nên \(3^n.30+2^n.12⋮6\) 

Vậy \(3^{n+3}+3^{n+1}+2^{n+3}+2^{n+2}⋮6\left(đpcm\right)\)

A=3^n+3+2^n+3+3^n+1+2^n+2

A=(3^n+3+3^n+1)+(2^n+3+2^n+2)

A=3^n(3^3+3)+2^n(2^3+2^2)

=3^n.30+2^n.12

=6(3^n.5+2^n.2) chia hết cho 6

=>A chia hết cho 6

(Công nhận Nhi giỏi thật mới thi hôm qua mà tối hôm kia đã hỏi)

\(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=\left(3^n.3^2+3^n\right)-\left(2^n.2^2+2^n\right)\)

\(=\left(3^n.10\right)-\left(2^n.5\right)=\left(3^n.10\right)-\left(2^{n-1}.10\right)\)

\(=\left(3^n-2^{n-1}\right).10⋮10\)

Tương tự nhé

1) 

 n³ + 3n² + 2n = n²(n + 1) + 2n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 
số chia hết cho 6 là số chia hết cho 2 và 3 
mà (n + 1) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n 
(n + 2) chia hết cho 2 và 3 với mọi số nguyên n 
=>n³ + 3n² + 2n luôn chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

2)

Bạn làm tương tự nha! 

thank

Mình đổi lại đề xíu:

M = 3ⁿ⁺³ + 3ⁿ⁺¹ + 2ⁿ⁺³ + 2ⁿ⁺²

= 3ⁿ⁺¹(3²+1) + 2ⁿ⁺²(2+1)

= 3ⁿ⁺¹.2.5 + 2ⁿ⁺².3

= 3.2.5.3ⁿ + 2.3.2ⁿ⁺¹

= 6.(3ⁿ.5 + 2ⁿ⁺¹) \(⋮\) 6

1. Xét n=1
VT = 1² = 1
VP = \(\dfrac{n.\left(4n^2-1\right)}{3}=\dfrac{1.\left(4.1-1\right)}{3}=1\)
=> VT = VP
=> Mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n = k , mệnh đề đúng hay: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2=\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)}{3}\)+) Ta phải chứng minh với n = k + 1, mệnh đề cũng đúng, tức là: \(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{\left(k+1\right).\left(4.\left(k+1\right)^2-1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(1\right)\)
+) Thật vậy, với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(1^2+3^2+5^2+...+\left(2k-1\right)^2+\left(2k+1\right)^2=\dfrac{k.\left(4.k^2-1\right)}{3}+\left(2k+1\right)^2\\ =\dfrac{k.\left(4k^2-1\right)+3.\left(2k+1\right)^2}{3}=\dfrac{4k^3-k+12k^2+12k+3}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(2k+3\right)\left(2k+1\right)}{3}\\ =\dfrac{\left(k+1\right)\left(4k^2+8k+3\right)}{3}\left(2\right)\)+) Từ (1) và (2) => Điều phải chứng minh

2. +) Xét n = 1
\(< =>4^1+15.1-1=18⋮9\)
=> với n=1 , mệnh đề đúng.
+) Giả sử với n=k , mệnh đề đúng, tức là: \(4^k+15k-1⋮9\)
+) Ta phải chứng minh với n = k + 1 mệnh đề cũng đúng, tức là: \(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1⋮9\)
Thật vậy: với n = k + 1, theo giả thiết quy nạp, ta có:
\(4^{k+1}+15\left(k+1\right)-1=4.4^k+15k+15-1\\ =4.4^k+4.15k-4-3.15k+18=4.\left(4^k+15k-1\right)-\left(45k-18\right)⋮9\)=> Điều phải chứng minh.

CCó cái chem chép