\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-xy+y^2=3\\z^2+yz+1=0\end{matrix}\right.\)

Cộng 2 vế của 2 BĐT trên ta được:

x² - xy + y² + z² + yz + 1 = 3

\(\Leftrightarrow\) 2x² - 2xy + 2y² + 2z² + 2yz - 4 = 0

\(\Leftrightarrow\) x² - 2xy + y² + y² + 2yz + z² + x² - 4 + z² = 0

\(\Leftrightarrow\) (x - y)² + (y + z)² + z² + (x - 2)(x + 2) = 0

Ta có: (x - y)² \(\ge\) 0 với mọi x; y

(y + z)² \(\ge\) 0 với mọi y; z

z² \(\ge\) 0 với mọi z

\(\Rightarrow\) (x - y)² + (y + z)² + z² \(\ge\) 0 với mọi x; y; z

\(\Rightarrow\) (x - 2)(x + 2) \(\ge\) 0 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\\\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

Với x = 2 ta có: (2 - y)² + (y + z)² + z² = 0

Dấu "=" xảy ra 

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=2\\z=0\end{matrix}\right.\)

Thử lại thấy KTM

Với x = -2 ta có: (-2 - y)² + (y + z)² + z² = 0

Dấu "=" xảy ra

\(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}-2-y=0\\y+z=0\\z=0\end{matrix}\right.\) (Vô nghiệm)

Vậy hpt vô nghiệm 

Mk ko chắc lắm ;-; (ko bt đúng ko :v)

Xét pt thứ 2 là pt bậc 2 so với ẩn z.

Ta có \(\Delta=y^2-4\ge0\Leftrightarrow y^2\ge4\).

Do đó ta có: \(x^2-xy+y^2=\left(x-\dfrac{1}{2}y\right)^2+\dfrac{3}{4}y^2\ge3\).

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(y^2=4;x=\dfrac{1}{2}y\).

+) y = 2 \(\Rightarrow x=1;z=-1\).

+) \(y=-2\Rightarrow x=-1;z=1\).

@Akai Haruma

@Hắc Hường

III.

Bài 1:

1/ pt có nghiệm x = 1

<=> \(1-m+1-m^2+m-2=0\Leftrightarrow-m^2=0\Leftrightarrow m=0\)

b/ khi m = 2

pt <=> \(x^2-x-4+2-2=0\)

<=> \(x^2-x-4=0\)

Có: \(\Delta=1-4\cdot\left(-4\right)=17\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1+\sqrt{17}}{2}\\x_2=\dfrac{1-\sqrt{17}}{2}\end{matrix}\right.\)

Bài 2:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=7\\4x-y=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+4y=7\\y=4x-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+4\left(4x-3\right)=7\\y=4x-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}19x=19\\y=4x-3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=4\cdot1-3=1\end{matrix}\right.\)

Vậy (x;y) = (1;1)

đề đây à \(\int^{x^2+y^2+xy=37}_{\int^{x^2+z^2+xz=38}_{y^2+z^2+yz=19}}\)
 

Giúp tớ đi

a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=5\\4x-5y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+6y=10\\4x-5y=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3y=5\\11y=9\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+3\cdot\dfrac{9}{11}=5\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+\dfrac{27}{11}=5\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x=\dfrac{28}{11}\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{14}{11}\\y=\dfrac{9}{11}\end{matrix}\right.\)

Vậy: \(x=\dfrac{14}{11};y=\dfrac{9}{11}\)

Không hề có ý spam nha ! Mik ban đầu ko lm dc bài này đăng lên OLM nhờ giúp nhưng giờ lm dc rồi vs lại có 1 bạn nhờ mik nên mik làm ra nha :(

\(pt\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+\frac{3y^2}{4}=3\)

\(pt\left(2\right)\Leftrightarrow\left(z+\frac{y}{2}\right)^2-\frac{y^2}{4}=-1\Leftrightarrow3\left(z+\frac{y}{2}\right)^2-\frac{3y^2}{4}=-3\)

Cộng vế theo vế ta được:

\(\left(x-\frac{y}{2}\right)^2+3\left(z+\frac{y}{2}\right)^2=0\)

Dễ dàng suy ra \(2x=y;2z=-y\)

Thay vào \(pt\left(1\right)\) ta được:

\(x^2-x\cdot2x+4x^2=3\Rightarrow3x^2=3\Rightarrow x=1;x=-1\Rightarrow y=2;y=-2\Rightarrow z=-1;z=1\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)\) thỏa mãn là \(\left(1;2;-1\right);\left(-1;-2;1\right)\)

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2=0\)

\(\Rightarrow x-y=y-z=z-x=0\)\(\Rightarrow x=y=z\)

\(\Rightarrow x^{2010}+y^{2010}+z^{2010}=3x^{2010}=3^{2010}\)

\(\Rightarrow x^{2010}=\dfrac{3^{2010}}{3}=3^{2009}\Rightarrow x=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

\(\Rightarrow x=y=z=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

Lời giải:

PT (1)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-(xy+yz+xz)=0\)

\(\Leftrightarrow 2(x^2+y^2+z^2)-2(xy+yz+xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Thấy rằng \((x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0\forall x,y,z\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\geq 0\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} (x-y)^2=0\\ (y-z)^2=0\\ (z-x)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z\)

Thay vào PT (2)

\(\Leftrightarrow x^{2010}+x^{2010}+x^{2010}=3^{2010}\)

\(\Leftrightarrow 3.x^{2010}=3^{2010}\Leftrightarrow x^{2010}=3^{2009}\)

\(\Leftrightarrow x=\sqrt[2010]{3^{2009}}\)

Vậy \((x,y,z)=(\sqrt[2010]{3^{2009}},\sqrt[2010]{3^{2009}},\sqrt[2010]{3^{2009}})\)

\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2+xz-yz+y^2=2\left(1\right)\\y^2+xy-yz+z^2=0\left(2\right)\\x^2-xy-xz-z^2=2\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (2) cộng (3) ta được

\(x^2+y^2-yz-zx=2\) (4)

Lấy (1) - (4) ta được

\(2x\left(x+z\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-z\end{matrix}\right.\)

Xét 2 TH rồi thay vào tìm được y và z

1. \(\left\{{}\begin{matrix}6xy=5\left(x+y\right)\\3yz=2\left(y+z\right)\\7zx=10\left(z+x\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{y+z}{yz}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{z+x}{zx}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{6}{5}\\\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=\dfrac{3}{2}\\\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{7}{10}\end{matrix}\right.\)

Đến đây thì dễ rồi nhé

2. \(\left\{{}\begin{matrix}\left(xy-x\right)-\left(y-1\right)=6\\\left(yz-y\right)-\left(z-1\right)=12\\\left(zx-z\right)-\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)\left(y-1\right)=6\\\left(y-1\right)\left(z-1\right)=12\\\left(z-1\right)\left(x-1\right)=8\end{matrix}\right.\)

Đến đây dễ rồi