Sửa đề: Đường cao BD

a: Xét tứ giác BEDC có

\(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}\left(=90^0\right)\)

Do đó: BEDC là tứ giác nội tiếp

hay B,E,D,C cùng thuộc 1 đường tròn

b: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có 

\(\widehat{A}\) chung

Do đó: ΔADB\(\sim\)ΔAEC

Suy ra: \(\dfrac{AD}{AE}=\dfrac{AB}{AC}\)

hay \(AD\cdot AC=AE\cdot AB\)

a: Xét tứ giác BEFC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^0\)

nên BEFC là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC

=>B,E,F,C cùng thuộc một đường tròn

tâm I là trung điểm của BC

b: Xét ΔABC có

BF,CE là các đường cao

BF cắt CE tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

=>AH\(\perp\)BC

=>AM\(\perp\)BC

Xét (O) có

ΔAMD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔAMD vuông tại M

=>AM\(\perp\)MD

Ta có: AM\(\perp\)BC

AM\(\perp\)MD

Do đó: BC//MD

Xét (O) có

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

\(\widehat{ADC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

Xét (O) có

ΔACD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔACD vuông tại C

Ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^0\)(AH\(\perp\)BC)

\(\widehat{ADC}+\widehat{CAD}=90^0\)(ΔACD vuông tại C)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

nên \(\widehat{BAH}=\widehat{CAD}\)

=>\(\widehat{BAH}+\widehat{MAD}=\widehat{CAD}+\widehat{MAD}\)

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAM}\)(1)

Xét (O) có

\(\widehat{BAD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

\(\widehat{BCD}\) là góc nội tiếp chắn cung BD

Do đó: \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\left(2\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{CBM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

\(\widehat{CAM}\) là góc nội tiếp chắn cung CM

Do đó: \(\widehat{CBM}=\widehat{CAM}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\widehat{CBM}=\widehat{BCD}\)

Xét tứ giác BCDM có BC//DM

nên BCDM là hình thang

Hình thang BCDM có \(\widehat{CBM}=\widehat{BCD}\)

nên BCDM là hình thang cân

c: Xét (O) có

ΔABD nội tiếp

AD là đường kính

Do đó: ΔABD vuông tại B

=>BA\(\perp\)BD

mà CH\(\perp\)BA

nên CH//BD

Ta có: CD\(\perp\)CA

BH\(\perp\)AC

Do đó: BH//CD

Xét tứ giác BHCD có

BH//CD
BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

=>BC cắt HD tại trung điểm của mỗi đường

mà I là trung điểm của BC

nên I là trung điểm của HD

=>H,I,D thẳng hàng

d: Kẻ tiếp tuyến Ax của (O)

Xét (O) có

\(\widehat{xAC}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến Ax và dây cung AC

\(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn cung AC

Do đó: \(\widehat{xAC}=\widehat{ABC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AFE}\left(=180^0-\widehat{EFC}\right)\)

nên \(\widehat{xAC}=\widehat{AFE}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên EF//Ax

Ta có: Ax//EF

Ax\(\perp\)AD

Do đó: AD\(\perp\)EF tại K

a: Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

c: Xét ΔAFH vuông tại F và ΔCFB vuông tại F có

\(\widehat{FAH}=\widehat{FCB}\)

Do đó: ΔAFH\(\sim\)ΔCFB

Suy ra: AF/CF=AH/CB

hay \(AF\cdot CB=AH\cdot CF\)

a: góc BEC=góc BDC=1/2*sđ cung BC=90 độ

=>CE vuông góc AB, BD vuông góc AC

góc AEH=góc ADH=90 độ

=>AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH

=>I là trung điểm của AH

b: Gọi giao của AH với BC là N

=>AH vuông góc BC tại N

góc IEO=góc IEH+góc OEH

=góc IHE+góc OCE

=90 độ-góc OCE+góc OCE=90 độ

=>IE là tiếp tuyến của (O)

a: Ta có: D là tâm đường tròn đường kính BC

=>D là trung điểm của BC

=>BD=5cm

=>AD=12cm

b: Xét (D) có

ΔBFC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó; ΔBFC vuông tại F

Xét (D) có

ΔBEC nội tiếp

BC là đường kính

Do đó:ΔBCE vuông tại E

Xét tứ giác AEHF có \(\widehat{AEH}+\widehat{AFH}=180^0\)

nên AEHF là tứ giác nội tiếp

a) Ta có: \(\widehat{CFB}=90^0\)(CF⊥AB)

nên F nằm trên đường tròn đường kính CB(Định lí)(1)

Ta có: \(\widehat{CEB}=90^0\)(BE⊥AC)

nên E nằm trên đường tròn đường kính CB(Định lí)(2)

Từ (1) và (2) suy ra F,E cùng nằm trên đường tròn đường kính CB

hay B,E,F,C cùng thuộc một đường tròn(đpcm)

Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tứ giác BEFC là trung điểm của CB

b) Ta có: BEFC là tứ giác nội tiếp(cmt)

nên \(\widehat{EFC}=\widehat{EBC}\)(Cùng nhìn cạnh EC)

\(\Leftrightarrow\widehat{KFC}=\widehat{KBE}\)

Xét ΔKFC và ΔKBE có 

\(\widehat{FKB}\) chung

\(\widehat{KFC}=\widehat{KBE}\)(cmt)

Do đó: ΔKFC∼ΔKBE(g-g)

⇒\(\dfrac{KF}{KB}=\dfrac{KC}{KE}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

⇒\(KE\cdot KF=KB\cdot KC\)(đpcm)