Giả sử điều cần c/m là đúng

Ta có : \(x^2+y^2-xy\ge x+y-1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy\ge2x+2y-2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+\left(y^2-2y+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+\left(y-1\right)^2\ge0\) ( điều này luôn đúng )

\(\Rightarrow\) Điều giả sử là đúng

\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge x+y-1\left(đpcm\right)\)

2.

\(4n^3+n+3=4n^3+2n^2+2n-2n^2-n-1+4=2n\left(2n^2+n+1\right)-\left(2n^2+n+1\right)+4\)-Để \(\left(4n^3+n+3\right)⋮\left(2n^2+n+1\right)\) thì \(4⋮\left(2n^2+n+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2n^2+n+1\in\left\{1;-1;2;-2;4;-4\right\}\) (do n là số nguyên)

*\(2n^2+n+1=1\Leftrightarrow n\left(2n+1\right)=0\Leftrightarrow n=0\) (loại) hay \(n=\dfrac{-1}{2}\) (loại)

*\(2n^2+n+1=-1\Leftrightarrow2n^2+n+2=0\) (phương trình vô nghiệm)

\(2n^2+n+1=2\Leftrightarrow2n^2+n-1=0\Leftrightarrow n^2+n+n^2-1=0\Leftrightarrow n\left(n+1\right)+\left(n+1\right)\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n+1\right)\left(2n-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow n=-1\) (loại) hay \(n=\dfrac{1}{2}\) (loại)

\(2n^2+n+1=-2\Leftrightarrow2n^2+n+3=0\) (phương trình vô nghiệm)

\(2n^2+n+1=4\Leftrightarrow2n^2+n-3=0\Leftrightarrow2n^2-2n+3n-3=0\Leftrightarrow2n\left(n-1\right)+3\left(n-1\right)=0\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(2n+3\right)=0\)\(\Leftrightarrow n=1\left(nhận\right)\) hay \(n=\dfrac{-3}{2}\left(loại\right)\)

-Vậy \(n=1\)

1. \(x^2+y^2=z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-z^2=0\)

\(\Rightarrow\left(x-z\right)\left(x+z\right)+y^2=0\)

-TH1: y lẻ \(\Rightarrow x-z;x+z\) đều lẻ.

\(x+3z-y=x+z-y+2x\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.

-TH2: y chẵn \(\Rightarrow\)1 trong hai biểu thức \(x-z;x+z\) chia hết cho 2.

*Xét \(\left(x-z\right)⋮2\):

\(x+3z-y=x-z+4z-y\) chia hết cho 2. \(\Rightarrow\)Hợp số.

*Xét \(\left(x+z\right)⋮2\):

\(x+3z-y=x+z+2z-y\) chia hết cho 2 \(\Rightarrow\)Hợp số.

\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{x^2+y^2}{x^2y^2}=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2+2xy}{x^2y^2}\)

\(VT=\dfrac{1}{\left(x-y\right)^2}+\dfrac{\left(x-y\right)^2}{x^2y^2}+\dfrac{2}{xy}\ge2\sqrt{\dfrac{\left(x-y\right)^2}{\left(x-y\right)^2x^2y^2}}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{2}{\left|xy\right|}+\dfrac{2}{xy}\ge\dfrac{2}{xy}+\dfrac{2}{xy}=\dfrac{4}{xy}\)

Với a=x,b=y nhé

Ta có các bất đẳng thức đúng : \(\hept{\begin{cases}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(x-1\right)^2\ge0\\\left(y-1\right)^2\ge0\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^2-2xy+y^2\ge0\\x^2-2x+1\ge0\\y^2-2y+1\ge0\end{cases}}\)

Cộng vế với vế ta được : \(x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+y^2-2y+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2-2xy-2x-2y+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2-xy-x-y+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-xy-x-y+1\ge0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge x+y-1\)(đpcm)

Biến đổi tương đương, do mọi hạng tử đều dương nên:

\(\frac{x^2+y^2+2}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\ge\frac{2}{1+xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(x^2+y^2+2\right)\ge2\left(x^2y^2+x^2+y^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2+x^3y+xy^3+2xy=2x^2y^2+2x^2+2y^2+2\)

\(\Leftrightarrow x^3y+xy^3-2x^2y^2-\left(x^2-2xy+y^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\) luôn đúng do \(xy\ge1\Rightarrow xy-1\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}xy=1\\x=y\end{matrix}\right.\)

Cái này biến đổi tương đương nhé, t có mỗi cách đó !

ta có BĐT cần chứng minh 

\(\Leftrightarrow\left(1+xy\right)\left(1+x^2\right)+\left(1+xy\right)\left(1+y^2\right)\ge2\left(1+y^2\right)\left(1+x^2\right)\)

\(\Leftrightarrow1+x^2+xy+x^3y+1+y^2+xy+y^3\ge2\left(1+x^2+y^2+x^2y^2\right)\)

\(\Leftrightarrow2xy+x^3y+xy^3-x^2-y^2-2x^2y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow xy\left(x-y\right)^2-\left(x-y\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(xy-1\right)\left(x-y\right)^2\ge0\)

bđt này luôn đúng với \(x,y\ge1\)

dấu = xảy ra <=> x=y >=1

^_^

chọn của vũ tiền châu nhé

nhớ đêý

cảm ơn 

t i c k nhé

\(\left(1+x\right)^2=\left(1.1+\sqrt{xy}.\sqrt{\dfrac{x}{y}}\right)^2\le\left(1+xy\right)\left(1+\dfrac{x}{y}\right)=\dfrac{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}{y}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}\ge\dfrac{y}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}\)

Tương tự ta có: \(\dfrac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\dfrac{x}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}\)

Cộng vế với vế: 

\(\dfrac{1}{\left(1+x\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+y\right)^2}\ge\dfrac{x+y}{\left(1+xy\right)\left(x+y\right)}=\dfrac{1}{1+xy}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=1\)

a)

Coi đây là pt bậc hai ẩn $y$. Để pt có nghiệm nguyên thì:

$\Delta'=x^2+3x+2=t^2$ với $t\in\mathbb{Z}$)

$\Rightarrow 4x^2+12x+8=4t^2$

$\Leftrightarrow (2x+3)^2-1=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 1=(2x+3-2t)(2x+3+2t)$

Xét 2 TH sau:

TH1: $2x+3-2t=2x+3+2t=1$

$\Rightarrow x=-1; y=1$

TH2: $2x+3-2t=2x+3+2t=-1$

$\Rightarrow x=-2; y=2$

Vậy.......

b) Ta có:

\(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow \frac{x^2+y^2+2}{x^2+y^2+x^2y^2+1}\geq \frac{2}{xy+1}\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2+2)(xy+1)\geq 2(x^2+y^2+x^2y^2+1)\)

\(\Leftrightarrow xy(x^2+y^2-2xy)-(x^2+y^2-2xy)\geq 0\)

$\Leftrightarrow (x-y)^2(xy-1)\geq 0$

Luôn đúng với mọi $xy\geq 1$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y$ hoặc $xy=1$