- Đề thiếu hã ?

a ) \(2cosx-3sinx+2=0\) 

\(\Leftrightarrow2cosx-3sinx=-2\)  

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{\sqrt{13}}cosx-\dfrac{3}{\sqrt{13}}sinx=-\dfrac{2}{\sqrt{13}}\) 

Thấy : \(\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2+\left(\dfrac{-3}{\sqrt{13}}\right)^2=1\) nên tồn tại \(\alpha\) t/m : 

\(sin\alpha=\dfrac{2}{\sqrt{13}};cos\alpha=\dfrac{-3}{\sqrt{13}}\) . . Khi đó : \(sin\alpha.cosx+cos\alpha.sinx=\dfrac{-2}{\sqrt{13}}\)

\(\Leftrightarrow sin\left(\alpha+x\right)=\dfrac{-2}{\sqrt{13}}\) ( p/t cơ bản ) 

b ) \(\dfrac{1+sinx}{1+cosx}=\dfrac{1}{2}\) ( ĐK : \(cosx\ne-1\Leftrightarrow x\ne\left(2k+1\right)\pi\) ; ( k thuộc Z )  ) 

\(\Leftrightarrow2+2sinx=cosx+1\) \(\Leftrightarrow cosx-2sinx=1\) 

Làm giống như a )  

c ) \(cos\left(2x-15^o\right)+sin\left(2x-15^o\right)=-1\)  

Đặt \(t=2x-15^o\) ; ta có : \(cos t + sin t = -1\) 

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)=-1\) \(\Leftrightarrow sin\left(t+\dfrac{\pi}{4}\right)=sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)\)  

Xong rồi bn làm tiếp ; chú ý đổi ra độ 

1.

\(\Leftrightarrow sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-cos2x\)

\(\Leftrightarrow sin\left(x-\frac{\pi}{3}\right)=sin\left(2x-\frac{\pi}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2x-\frac{\pi}{2}=x-\frac{\pi}{3}+k2\pi\\2x-\frac{\pi}{2}=\frac{4\pi}{3}-x+k2\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{11\pi}{18}+\frac{k2\pi}{3}\end{matrix}\right.\)

2.

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{3}}{2}cosx-\frac{1}{2}sinx=0\)

\(\Leftrightarrow cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{3}+k\pi\)

3.

\(\Leftrightarrow sin2x+1=2\left(\frac{1-cos2x}{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow sin2x+cos2x=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2}sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x+\frac{\pi}{4}=k\pi\)

\(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\)

4. ĐKXĐ; ...

\(\Leftrightarrow\frac{sinx.cos2x}{cosx.sin2x}+1=0\)

\(\Leftrightarrow sinx.cos2x+cosx.sin2x=0\)

\(\Leftrightarrow sin3x=0\)

\(\Leftrightarrow3sinx-4sin^3x=0\)

\(\Leftrightarrow3-4sin^2x=0\)

\(\Leftrightarrow3-2\left(1-cos2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos2x=-\frac{1}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{3}+k\pi\\x=-\frac{\pi}{3}+k\pi\end{matrix}\right.\)

5.

\(\Leftrightarrow sin\left(2cosx\right)=1\)

\(\Leftrightarrow2cosx=\frac{\pi}{2}+k2\pi\)

\(\Leftrightarrow cosx=\frac{\pi}{4}+k\pi\)

Do \(-1\le cosx\le1\Rightarrow-1\le\frac{\pi}{4}+k\pi\le1\)

Mà \(k\in Z\Rightarrow k=0\)

\(\Rightarrow cosx=\frac{\pi}{4}\)

\(\Leftrightarrow x=\pm arccos\left(\frac{\pi}{4}\right)+k2\pi\)

Giống nhau tất thảy.

k ở đây được hiểu là "một số nguyên bất kì", giống hay khác nhau đều được

Ví dụ: 

\(sinx=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)

Thì "k" trong \(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\) và "k" trong \(\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi\) không liên quan gì đến nhau (nó chỉ là 1 kí hiệu, có thể k trên bằng 0, k dưới bằng 100 cũng được, không ảnh hưởng gì, cũng có thể 2 cái bằng nhau cũng được).

Khi người ta ghi 2 nghiệm đều là "k2pi" chủ yếu do... lười biếng (kiểu như mình). Trên thực tế, rất nhiều tài liệu cũ họ ghi các kí tự khác nhau, ví dụ 1 nghiệm là \(\dfrac{\pi}{6}+k2\pi\), 1 nghiệm là \(\dfrac{5\pi}{6}+n2\pi\) để tránh học sinh phát sinh hiểu nhầm đáng tiếc rằng "2 cái k phải giống hệt nhau về giá trị". 

Chọn C

1.

Đặt \(\frac{x}{3}=t\) pt trở thành:

\(cos4t=sin^23t\Leftrightarrow2cos4t=1-cos6t\)

\(\Leftrightarrow cos6t+2cos4t-1=0\)

\(\Leftrightarrow4cos^32t-3cos2t+2\left(2cos^22t-1\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow4cos^32t+2cos^22t-3cos2t-3=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cos2t-1\right)\left(4cos^22t+6cos2t+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cos2t=1\Leftrightarrow cos\frac{2x}{3}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{2x}{3}=k2\pi\Leftrightarrow x=k3\pi\)

2.

\(\Leftrightarrow4cos^3x-3cosx-\left(1-2sin^2x\right)+9sinx-4=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(4cos^2x-3\right)+2sin^2x+9sinx-5=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(4\left(1-sin^2x\right)-3\right)+\left(2sinx-1\right)\left(sinx+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow cosx\left(1-4sin^2x\right)+\left(2sinx-1\right)\left(sinx+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(cosx+2sinx.cosx\right)\left(1-2sinx\right)-\left(1-2sinx\right)\left(sinx+5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2sinx\right)\left(cosx-sinx+2sinx.cosx-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(1-2sinx\right)\left(\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+sin2x-5\right)=0\)

\(\Leftrightarrow1-2sinx=0\) (do \(\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le\sqrt{2};sin2x\le1\) nên ngoặc sau luôn âm)

\(\Leftrightarrow sinx=\frac{1}{2}\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{\pi}{6}+k2\pi\\x=\frac{5\pi}{6}+k2\pi\end{matrix}\right.\)