:)

- Ta có: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{c}{d}\) (gt)

=>\(ad< bc\) 

=>\(ad+ab< bc+ab\)

=>\(a\left(b+d\right)< b\left(a+c\right)\)

=>\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}\) (1)

- Ta có: \(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a}{b}\) (gt)

=>\(bc>ad\)

=>\(bc+cd>ad+cd\)

=>\(c\left(b+d\right)>d\left(a+c\right)\)

=>\(\dfrac{c}{d}>\dfrac{a+c}{b+d}\) (2)

- Từ (1) và (2) suy ra: \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+c}{b+d}< \dfrac{c}{d}\)

Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}=k\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=bk\\c=dk\end{matrix}\right.\)

Xét vế trái , ta có :

(a + b + c + d)(a - b - c + d)

= (bk + b + dk + d)(bk - b - dk + d)

= [(b.(k + 1) + d(k + 1)].[b.(k - 1) - d.(k - 1)]

= (b + d)(k + 1).(b - d)(k - 1)

Xét vế phải , ta có :

(a - b + c - d)(a + b - c - d)

= (bk - b + dk - d)(bk + b - dk - d)

= [b.(k - 1) + d.(k - 1)].[b(k + 1) - d(k + 1)]

= (b + d)((k - 1).(b - d)(k + 1)

Ta thấy sau khi xét hai vế , đều có thừa số chung

Vậy ....

Đoàn Đức Hiếu giúp mình

Ta có:

\(\dfrac{a}{a+b+c}< \dfrac{a+d}{a+b+c+d};\dfrac{b}{a+b+d}< \dfrac{b+c}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{c}{b+c+d}< \dfrac{c+a}{a+b+c+d};\dfrac{d}{a+c+d}< \dfrac{b+d}{a+b+c+d}\)

Cộng theo vế các BĐT trên ta có:

\(P< \dfrac{a+d}{a+b+c+d}+\dfrac{b+c}{a+b+c+d}+\dfrac{c+a}{a+b+c+d}+\dfrac{b+d}{a+b+c+d}=\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\left(1\right)\)

Lại có:

\(\dfrac{a}{a+b+c}>\dfrac{a}{a+b+c+d};\dfrac{b}{a+b+d}>\dfrac{b}{a+b+c+d}\)

\(\dfrac{c}{b+c+d}>\dfrac{c}{a+b+c+d};\dfrac{d}{a+c+d}>\dfrac{d}{a+b+c+d}\)

Cộng theo vế các BĐT trên có:

\(P>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\left(2\right)\)

Từ \((1);(2)\) ta thu được ĐPCM

ta có:

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\Rightarrow\dfrac{a^6}{b^6}=\dfrac{c^6}{d^6}=\dfrac{3a^6}{3b^6}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ sốbằng nhau ta có:

\(\dfrac{a^6}{b^6}=\dfrac{c^6}{d^6}=\dfrac{3a^6}{3b^6}=\dfrac{a^6+c^6}{b^6+d^6}=\dfrac{\left(a+c\right)^6}{\left(b+d\right)^6}\)

=\(\dfrac{c^6+3a^6}{d^6+3b^6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{3a^6+c^6}{3b^6+d^6}=\dfrac{\left(a+c\right)^6}{\left(b+d\right)^6}\) (ĐPCM)

Theo đề bài ta có :

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)

Đặt \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=k\) ( 1 )

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(k=\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}=\dfrac{a+b}{c+d}\)

\(k^2=\left(\dfrac{a+b}{c+d}\right)^2=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\)  ( 2 )

Mà từ ( 1 ) = > \(k^2=\dfrac{a}{c}.\dfrac{b}{d}=\dfrac{ab}{cd}\) ( 3 )

Từ ( 2 ) , ( 3 ) 

 = > \(\dfrac{ab}{cd}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{\left(c+d\right)^2}\) ( đpcm )

Cho \(\dfrac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\dfrac{ab}{cd}\) với ( với a, b, c, d khác 0, và c \(\ne\pm d\) ). Chứng minh rằng hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\) hoặc \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{d}{c}\) ?

Lớp 8:Thì cái này hiển đúng: \(\dfrac{a}{a+k}>\dfrac{a}{a+p}\forall a,p>k>0\)

\(A>\dfrac{a}{a+b+c+d}+\dfrac{b}{a+b+c+d}+\dfrac{c}{a+b+c+d}+\dfrac{d}{a+b+c+d}=\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}=1\)

Vậy: \(A>1\)

Tương tự:

\(A< \dfrac{a+d}{a+b+c+d}+\dfrac{b+a}{a+b+c+d}+\dfrac{c+b}{a+b+c+d}+\dfrac{d+c}{a+b+c+d}=\dfrac{2\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}=2\)

Vậy: A<2

Kết luận: \(1< A< 2\)

p/s: bài giải này chỉ đúng với lớp 8; nếu lớp 6 bài giải này chưa đúng.

Chữ hơi xấu