a, Vì hai vế đều ko âm nên ta đuợc :

\(\left|x+y\right|^2\)<=\(\left(\left|x\right|^2+\left|y\right|^2\right)\)

<=> (x+y)(x+y) <= \(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

<=> \(x^2+2xy+y^2\) <= \(x^2+2\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)

<=> xy <= |xy| ( Luôn đúng với mọi x và y )

Vậy BĐT trên đúng. Dấu ' = ' xảy ra khi x, y cùng dấu

b, Áp dụng từ câu a , bạn suy ra nhé !

a) cả 2 vế không âm nên bình phương 2 vế ta được :

\(\left|x+y\right|^2\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+y\right)\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right).\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2.\left|x\right|\left|y\right|+y^2\)

\(\Leftrightarrow xy\le\left|xy\right|\) Điều này luôn đúng với mọi số x ; y .

Vậy bất đẳng thức đã cho đúng . Dầu " ="khí | xý | = xy <=> x ; y cùng dấu .

b) Áp dụng câu a) ta có : | x - y| + |y| \(\ge\) | (x-y) + y | = |x|

=> |x - y | \(\ge\)|x| + | y|

Đầu " = " xảy ra <=> (x-y) và y cùng dấu

a) Với mọi x, y \(\in\) Q ta luôn có x \(\le\) \(\left|x\right|\) và -x \(\le\) \(\left|x\right|\);

y \(\le\) \(\left|y\right|\) và -y \(\le\) \(\left|y\right|\) \(\Rightarrow\) x + y \(\le\) \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) và -x - y \(\le\) \(\left|x\right|\) - \(\left|y\right|\)

hay x + y \(\ge\) -( \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) ).

Do đó -( \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) ) \(\le\) x + y \(\le\) \(\left|x\right|\) + \(\left|y\right|\) .

Vậy \(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|.\)

(Dấu "=" xảy ra khi xy \(\ge\) 0).

b) Theo câu a ta có:\(\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\Rightarrow\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|.\)

a) |x| + |y| \(\ge\) |x+y|

Với mọi x,y : |x| \(\ge\) x ( Dấu "=" xảy ra khi x \(\ge\) 0 )

|y| \(\ge\) y ( Dấu "=" xảy ra khi y \(\ge\) 0 )

=> |x| + |y| \(\ge\) x+y (1)

Với mọi x,y : |x| > x ( Dấu "=" xảy ra khi x \(\le\) 0 )

|y| > y ( Dấu "=" xảy ra khi y \(\le\) 0 )

=> |x| + |y| = -(x+y) (2)

Từ (1) và (2) => |x| + |y| \(\ge\) |x+y|

giúp m vs

Với mọi \(x,y\in Q\) ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x\le\left|x\right|;-x\le\left|x\right|\\y\le\left|y\right|;-y\le\left|y\right|\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\\-x-y\le\left|x\right|+\left|y\right|\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x+y\ge-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\)

\(\Rightarrow-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\le x+y\le\left|x\right|+\left|y\right|\)

\(\Rightarrow\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\left(đpcm\right).\)

Dấu '' = '' xảy ra khi \(xy\ge0.\)

Chúc bạn học tốt!

a)

TH1. nếu \(\left[{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left|x\right|\ge\left|x+0\right|=\left|x\right|\\\left|y\right|\ge\left|0+y\right|=\left|y\right|\end{matrix}\right.\) hiển nhiên đúng

TH2.với x, y khác 0

x.y>0 nghĩa là x, y cùng dấu

\(\left|x+y\right|=\left|-x-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\)

x.y<0 nghĩa là x, y trái dấu

\(\left|x+y\right|=\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|\)

Nếu \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\)(1)

Nếu \(\left|x\right|\le\left|y\right|\Rightarrow\left|\left|x\right|-\left|y\right|\right|=\left|y\right|-\left|x\right|\)(2)

hiển nhiển \(\left|x\right|+\left|y\right|\) luôn lơn hơn (1) và (2)

TH1 và TH2 => dpcm

b) x,y,z,t có vai trò như nhau đối VT =>

không mất tính tổng quát g/s: \(\left|x\right|\ge\left|y\right|\ge\left|z\right|\ge\left|t\right|\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x-y\right|=\left|x\right|-\left|y\right|\\\left|y-z\right|=\left|y\right|-\left|z\right|\\\left|z-t\right|=\left|z\right|-\left|t\right|\\\left|t-x\right|=\left|x\right|-\left|t\right|\end{matrix}\right.\)

Cộng lại

VT =\(2\left(\left|x\right|-\left|t\right|\right)\) vậy VT luôn là một số chẵn VP là số lẻ => vô nghiệm

Từ bđt Cauchy : \(a+b\ge2\sqrt{ab}\) ta suy ra được \(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

Áp dụng vào bài toán của bạn :

a/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-x\right)\le\frac{\left(x+3+5-x\right)^2}{4}=...............\)

b/ Tương tự

c/ \(y=\left(x+3\right)\left(5-2x\right)=\frac{1}{2}.\left(2x+6\right)\left(5-2x\right)\le\frac{1}{2}.\frac{\left(2x+6+5-2x\right)^2}{4}=.............\)

d/ Tương tự

e/ \(y=\left(6x+3\right)\left(5-2x\right)=3\left(2x+1\right)\left(5-2x\right)\le3.\frac{\left(2x+1+5-2x\right)^2}{4}=.......\)

f/ Xét \(\frac{1}{y}=\frac{x^2+2}{x}=x+\frac{2}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{2}{x}}=2\sqrt{2}\)

Suy ra \(y\le\frac{1}{2\sqrt{2}}\)

..........................

g/ Đặt \(t=x^2\) , \(t>0\) (Vì nếu t = 0 thì y = 0)

\(\frac{1}{y}=\frac{t^3+6t^2+12t+8}{t}=t^2+6t+\frac{8}{t}+12\)

\(=t^2+6t+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+\frac{8}{3t}+12\)

\(\ge5.\sqrt[5]{t^2.6t.\left(\frac{8}{3t}\right)^3}+12=.................\)

Từ đó đảo ngược y lại rồi đổi dấu \(\ge\) thành \(\le\)