\(VT=\dfrac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge4\) (AM-GM 4 số hạng)

Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel ta có:

\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng BĐT cauchy schawrz dạng engel, ta có:

\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z\)

Áp dụng bất đẳng thức Svacxo ta có : 

\(\frac{\left(y+z\right)^2}{x}+\frac{\left(x+z\right)^2}{y}+\frac{\left(x+y\right)^2}{z}\ge\frac{\left(y+z+x+z+x+y\right)^2}{x+y+z}\)

\(=\frac{\left(2x+2y+2z\right)^2}{x+y+z}=\frac{\left[2\left(x+y+z\right)\right]^2}{x+y+z}=\frac{4\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z}=4\left(x+y+z\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

BĐT cần chứng minh tương đương

\(VT\ge4\left(x+y+z\right)\)

\(\Leftrightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)

Theo BĐT Cauchy-Schwarz và AM-GM, ta có:

\(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+\sqrt{yz}\right)}{x}=y+z+\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{yz}}{x}\ge y+z+\dfrac{2yz}{x}\)

Suy ra: \(\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge2\left(x+y+z\right)-2\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)\)

Mặt khác, theo AM-GM:
\(\left(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}+\dfrac{xy}{z}\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow\sum\dfrac{\left(y+z\right)\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}{x}\ge4\left(x+y+z\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

@Phương An

\(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}}\); \(x-y=\left(x+z\right)-\left(y+z\right)=a-b\)

\(ab=1\Rightarrow b=\frac{1}{a}\)

\(A=VT=\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\frac{1}{a^2}+a^2\)

\(=\frac{a^2}{\left(a^2-1\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)

\(t=a^2>0\)

\(A=\frac{t}{\left(t-1\right)^2}+t+\frac{1}{t}\)

\(A-4=\frac{\left(t^2-3t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2}\ge0\)

\(\Rightarrow A\ge4\)

Dấu bằng xảy ra khi \(t=a^2=\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}\)\(\Leftrightarrow a=\sqrt{\frac{3\pm\sqrt{5}}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=x+z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}\\b=y+z=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\end{cases}}\) và hoán vị còn lại 

Hệ trên có vô số nghiệm, chẳng hạn

\(\hept{\begin{cases}z=\frac{1}{10}\\x=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}-\frac{1}{10}\end{cases}}\)

giúp với.

Chào anh! Em mới học lớp 7 nên không biết làm. Nếu là toán lớp 9 thì anh nên đăng ký tài khoản ở h, sẽ có câu trả lời nhanh hơn đấy. Chúc anh học tốt!

\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{x^4}{x^2y^2}+\dfrac{y^4}{x^2y^2}+\dfrac{4x^2y^2}{x^2y^2}\ge3\left(\dfrac{x^2}{xy}+\dfrac{y^2}{xy}\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2+6x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2+y^2\right)}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x^4+y^4-2x^2y^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3x^2+3y^2}{xy}-\dfrac{6xy}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x^2-y^2\right)^2}{x^2y^2}\ge\dfrac{3\left(x^2-2xy+y^2\right)}{xy}=\dfrac{3\left(x-y\right)^2}{xy}\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left[\dfrac{\left(x+y\right)^2-3xy}{x^2y^2}\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\left(\dfrac{x^2+y^2-xy}{x^2y^2}\right)\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT đã được chứng minh

x+y+z=0

nên x+y=-z; y+z=-x; x+z=-y

\(\left(1+\dfrac{x}{y}\right)\left(1+\dfrac{y}{z}\right)\left(1+\dfrac{z}{x}\right)\)

\(=\dfrac{x+y}{y}\cdot\dfrac{y+z}{z}\cdot\dfrac{x+z}{x}=-1\)

Đề bài sai, đề đúng thì phân thức đằng sau dấu chia phải là:

\(\dfrac{4x^4+4x^2y+y^2-4}{x^2+y+xy+x}\)