Cho M= \(\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\)
Chứng minh: \(M^{10}\) >1025
Cho biểu thức M = \(\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\) với x,y,z,t là các số tự nhiên khác 0 . Chứng minh \(M^{10}< 1025\)
Cho biểu thức M=\(\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\)tìm x,y,z,t là các số tự nhiên khác 0, Chứng minh M10<1025
Cho M = \(\dfrac{x}{x+y+z}\)+\(\dfrac{y}{y+z+t}\)+\(\dfrac{z}{z+t+x}\)+\(\dfrac{t}{t+x+y}\) với x, y, z, t ϵ N*
CMR: M10 < 1025
Cho biểu thức M = \(\dfrac{x}{x+y+z}=\dfrac{y}{x+y+t}=\dfrac{z}{y+z+t}=\dfrac{t}{x+z+t}\forall\) x; y; z; t là các số tự nhiên và khác 0. Chứng minh \(M^{10}\)<2017
\(\dfrac{x}{x+y+z}=\dfrac{y}{x+z+t}=\dfrac{z}{y+z+t}=\dfrac{t}{x+z+t}\\ =\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z+x+z+y+y+z+t+x+z+t}\)
\(=\dfrac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=\dfrac{1}{3}\\ hayM=\dfrac{1}{3}\)
\(M^{10}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{10}=\dfrac{1}{3^{10}}< 2017\)
Cho dãy tỉ số bằng nhau:\(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\)
Chứng minh rằng : \(p=\dfrac{x+y}{z+t}=\dfrac{y+z}{t+x}=\dfrac{z+t}{x+y}=\dfrac{t+x}{y+z}\) có giá trị nguyên.
Bài 1 : Cho \(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\)
chứng minh rằng biểu thức sau có gía trị nguyên
\(P=\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}\)
cho x,y,t,z thuộc N*
chứng minh M=\(\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\)có giá trị ko phải số tự nhiên
\(M>\dfrac{x}{x+y+z+t}+\dfrac{y}{x+y+z+t}+\dfrac{z}{x+y+z+t}+\dfrac{t}{x+y+z+t}=1\)
\(\dfrac{a}{b}< 1\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{b}< \dfrac{a+m}{b+m}\) (Bạn chứng minh qua nhân chéo nhé)
\(\Rightarrow M< \dfrac{x+t}{x+y+z+t}+\dfrac{y+z}{x+y+z+t}+\dfrac{z+x}{x+y+z+t}+\dfrac{t+y}{x+y+z+t}=2\)
Do \(1< M< 2\) mà \(1\) và \(2\) là hai số tự nhiên liên tiếp
\(\Rightarrow M\notin\) N
cho x,y,z,t thuộc N* chứng minh rằng
\(M=\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\) không phải là số tự nhiên
CM: M>1
\(M=\dfrac{x}{x+y+z}+\dfrac{y}{x+y+t}+\dfrac{z}{y+z+t}+\dfrac{t}{x+z+t}\\ >\dfrac{x}{x+y+z+t}+\dfrac{y}{x+y+z+t}+\dfrac{z}{x+y+z+t}+\dfrac{t}{x+y+z+t}=1\left(\text{đ}pcm\right)\)
cm : M<2
\(M< \dfrac{x}{x+y}+\dfrac{y}{x+y}+\dfrac{z}{z+t}+\dfrac{t}{z+t}=1+1=2\left(\text{đ}pcm\right)\)
Vì 1<M<2 nên M không phải là số tự nhiên
Cho x+y+z+t và \(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\). Chứng minh rằng biểu thức P=\(\dfrac{x+y}{z+t}+\dfrac{y+z}{t+x}+\dfrac{z+t}{x+y}+\dfrac{t+x}{y+z}\) có giá trị nguyên.
Từ \(\dfrac{x}{y+z+t}=\dfrac{y}{z+t+x}=\dfrac{z}{t+x+y}=\dfrac{t}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\dfrac{x}{y+z+t}+1=\dfrac{y}{z+t+x}+1=\dfrac{z}{t+x+y}+1=\dfrac{t}{x+y+z}+1\)
\(\Rightarrow\dfrac{x+y+z+t}{y+z+t}=\dfrac{x+y+z+t}{z+t+x}=\dfrac{x+y+z+t}{t+x+y}=\dfrac{x+y+z+t}{x+y+z}\)
Vì \(x+y+z+t\ne0\) nên ta đi xét \(x+y+z+t=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=-\left(z+t\right)\\y+z=-\left(t+x\right)\\z+t=-\left(x+y\right)\\t+x=-\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\). Khi đó
\(P=\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)+\left(-1\right)=4\)