a) Áp dụng định lí Pytago vào ΔEDF vuông tại D, ta được:

\(EF^2=DF^2+DE^2\)

\(\Leftrightarrow DF^2=13^2-9^2=88\)

hay \(DF=2\sqrt{22}\left(cm\right)\)

Xét ΔEDF vuông tại D có 

\(\sin\widehat{E}=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{2\sqrt{22}}{13}\)

nên \(\widehat{E}\simeq46^0\)

\(\Leftrightarrow F=44^0\)

b) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDFE vuông tại D có DI là đường cao ứng với cạnh huyền EF, ta được:

\(DI\cdot EF=DF\cdot DE\)

\(\Leftrightarrow DI=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔDIF vuông tại I, ta được:

\(DF^2=DI^2+IF^2\)

\(\Leftrightarrow IF^2=DF^2-DI^2=\left(2\sqrt{22}\right)^2-\left(\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\right)^2=\dfrac{7744}{169}\)

hay \(IF=\dfrac{88}{13}\left(cm\right)\)

Ta có: IE+IF=EF(I nằm giữa E và F)

nên \(IE=EF-IF=13-\dfrac{88}{13}=\dfrac{81}{13}\left(cm\right)\)

c) Xét tứ giác DMIN có 

\(\widehat{NDM}=90^0\)

\(\widehat{IND}=90^0\)

\(\widehat{IMD}=90^0\)

Do đó: DMIN là hình chữ nhật(Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

Suy ra: DI=MN(Hai đường chéo của hình chữ nhật DMIN)

mà \(DI=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)

nên \(MN=\dfrac{18\sqrt{22}}{13}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDIE vuông tại I có IM là đường cao ứng với cạnh huyền DE, ta được:

\(DM\cdot DE=DI^2\)(1)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDIF vuông tại I có IN là đường cao ứng với cạnh huyền DF, ta được:

\(DN\cdot DF=DI^2\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(DM\cdot DE=DN\cdot DF\)

Lời giải:
a. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$AB^2=BH.BC$

$AC^2=CH.CB$

$\Rightarrow (\frac{AB}{AC})^2=\frac{BH.BC}{CH.CB}=\frac{BH}{CH}$

$\Leftrightarrow (\frac{7}{24})^2=\frac{49}{576}=\frac{BH}{CH}$

b.

$\frac{BH}{CH}=\frac{49}{576}$

$BH+CH=BC=625$ (cm)

$\Rightarrow BH=625:(49+576).49=49$ (cm)

$CH=BC-BH=625-49=576$ (cm)

Hình vẽ:

a) Ta có: \(\dfrac{BH}{CH}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

nên \(\dfrac{BH}{CH}=\left(\dfrac{7}{24}\right)^2=\dfrac{49}{576}\)

b) Ta có: \(\dfrac{BH}{CH}=\dfrac{49}{576}\)

nên \(BH=\dfrac{49}{576}CH\)

Ta có: BH+CH=BC(H nằm giữa B và C)

nên \(CH+\dfrac{49}{576}CH=625\)

\(\Leftrightarrow CH\cdot\dfrac{625}{576}=625\)

\(\Leftrightarrow CH=576\left(cm\right)\)

\(\Leftrightarrow BH=BC-CH=625-576=49\left(cm\right)\)

\(a,\) Áp dụng Pytago \(EF=\sqrt{DE^2+DF^2}=25\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}DE^2=EH\cdot EF\\DF^2=FH\cdot EF\\DH^2=FH\cdot EH\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EH=\dfrac{DE^2}{EF}=9\left(cm\right)\\FH=\dfrac{DF^2}{EF}=16\left(cm\right)\\DH=\sqrt{9\cdot16}=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

\(b,\sin\widehat{E}=\cos\widehat{F}=\dfrac{DF}{EF}=\dfrac{4}{5}\approx\left\{{}\begin{matrix}\sin53^0\\\cos37^0\end{matrix}\right.\\ \Rightarrow\widehat{E}\approx53^0;\widehat{F}\approx37^0\)

Ta có: \(AB^2\) = BH . BC  ;  \(AC^2\) = CH . BC

    Ta có:

    ⇒ BH  = 49 . 1 = 49

    ⇒ CH = 576 . 1 = 576

a) Ta có: \(\dfrac{BH}{HC}=\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{BH}{HC}=\dfrac{49}{576}\)

hay \(BH=\dfrac{49}{576}HC\)

Ta có: BH+HC=BC(H nằm giữa B và C)

\(\Leftrightarrow HC\cdot\dfrac{625}{576}=625\)

hay HC=576(cm)

\(\Leftrightarrow HB=BC-BH=625-576=49\left(cm\right)\)

Giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác HDF, ta có:

HF² + DH² = DF²

=> 16² + DH² = 20²

=> DH² = 144 = 12²

=> DH = 12 (cm)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác DEH có:

DE² = 9² + 12² = 225 = 15²

=> DE = 15 (cm)

áp dụng định lý pitago vào tam giác DHF ta có:

HF² + DH² = DF²

hay 16²+ DH² = 20²

suy ra : DH²= 144 =12² 

suy ra: DH = 12

áp dụng định lý pitago vào tam giác DEH ta có :

DE² = 9²+12²= 225 = 15²

suy ra : DE = 15

Tam giác DHF vuông tại H => FD² = FH² + HD² ( Theo định lý pitago ) => DH² = FD² - FH²

=> DH² - 20² - 16² = 400 - 256 = 144 = 12² => DH = 12 (cm)

Tam giác HDE vuông tại H => DE² = DH² + HE² = 12² + 9² = 144 + 81 = 225 = 15²

=> DE = 15 (cm)

Vậy DH = 12 cm; DE = 15 cm

a) ▲ DEF vuông tại D có:

+)DE= EF. sin E (hệ thức cạnh và góc.....)

DE= 9. sin60 = ....

+)DF= EF. cos E

DF= 9. cos60 = ....

+)EF²=DE²+DF²(Pytago)

b) ▲DHE vuông tại H:

DH=ED. sinE

c) câu này hông pk -_-