tham khảo:

(sinx + sin5x) + (sin2x + sin4x) + 4sin3x = 0

⇔ 2sin3x . cos2x + 2sin3x . cosx + 4sin3x = 0

⇔ 2sin3x (cos2x + cosx + 2sin3x) = 0

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}sin3x=0\left(1\right)\\cos2x+cosx+2sin3x=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) ⇔ ...

(2) ⇔ \(2cos\dfrac{3x}{2}.cos\dfrac{x}{2}+4sin\dfrac{3x}{2}.cos\dfrac{3x}{2}=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}cos\dfrac{3x}{2}=0\left(\alpha\right)\\cos\dfrac{x}{2}+2sin\dfrac{3x}{2}=0\left(\beta\right)\end{matrix}\right.\)

Giải \(\left(\alpha\right)\) quá đơn giản

Giải \(\left(\beta\right)\) 

\(2\left(3sin\dfrac{x}{2}-4sin^3\dfrac{x}{x}\right)+cos\dfrac{x}{2}=0\)

⇔ \(-8sin^3\dfrac{x}{2}+6sin\dfrac{x}{2}\left(sin^2\dfrac{x}{2}+cos^2\dfrac{x}{2}\right)+cos\dfrac{x}{2}.\left(sin^2\dfrac{x}{2}+cos^2\dfrac{x}{2}\right)=0\)

⇔ \(-2sin^3\dfrac{x}{2}+6sin\dfrac{x}{2}.cos^2\dfrac{x}{2}+sin^2\dfrac{x}{2}.cos\dfrac{x}{2}+cos^3\dfrac{x}{2}=0\) 

Xét \(x=k2\pi,k\in Z\) tức \(sin\dfrac{x}{2}=0\) có thỏa mãn phương trình không, nếu có kết luận về nghiệm 

Dù trường hợp trên có thỏa mãn hay không thì tiếp tục xét trường hợp nữa là \(x\ne k2\pi,k\in Z\) tức \(sin\dfrac{x}{2}\ne0\). Rồi chia cả 2 vế phương trình lằng nhằng kia cho \(sin\dfrac{x}{2}\) và đưa về phương trình bậc 3 theo cot\(\dfrac{x}{2}\)

Nếu tham khảo theo cách của mình thì dùng công thức này : 

sin3x

= sin2x . cosx + cos2x . sinx 

= 2sinx . cosx . cosx + (1 - 2sin²x) . sinx

= 2sinx . cos²x + sinx - 2sin³x

= 2sinx (1 - sin²x) + sinx - 2sin³x

= 3sinx - 4sin³x

\(sin^23x.cos2x+sin^2x=0\)

\(\left(3sinx-4sin^3x\right)^2.cos2x+sin^2x=0\)

\(sin^2x\left[\left(3-4sin^2x\right)^2.cos2x+1\right]=0\)

\(sin^2x\left[\left(1+2cos2x\right)^2.cos2x+1\right]=0\)

\(sin^2x\left(4cos^22x+1\right)\left(cos2x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx=0\\cos2x=1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=k\text{π}\\2x=k2\text{π}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=k\text{π}\)

\(sin^23xcos2x+sin^2x=0\rightarrow\dfrac{1-cos6x}{2}.cos2x+\dfrac{1-cos2x}{2}=0\\ \rightarrow cos6xcos2x=1\rightarrow cos8x+cos4x=2\\ \rightarrow cos8x=cos4x=1\rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}\left(k\in Z\right)\)

cây a) bạn xét 2 TH :

b) bạn sd công thức hạ bậc là xong r

\(sin\left(2x+\dfrac{\Omega}{2}\right)=sin\left(x-\dfrac{\Omega}{3}\right)\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}2x+\dfrac{\Omega}{2}=x-\dfrac{\Omega}{3}+k2\Omega\\2x+\dfrac{\Omega}{2}=\Omega-x+\dfrac{\Omega}{3}+k2\Omega\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{6}\Omega+k2\Omega\\3x=\dfrac{4}{3}\Omega-\dfrac{1}{2}\Omega+k2\Omega\end{matrix}\right.\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=-\dfrac{5}{6}\Omega+k2\Omega\\x=\dfrac{5}{18}\Omega+\dfrac{k2\Omega}{3}\end{matrix}\right.\)

Lời giải:

$\sin (2x+\frac{\pi}{2})=\sin (x-\frac{\pi}{3})$

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix}\ 2x+\frac{\pi}{2}=x-\frac{\pi}{3}+2k\pi\\ 2x+\frac{\pi}{2}=\pi -(x-\frac{\pi}{3})+2k\pi\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left[\begin{matrix}\ x=\pi (2k-\frac{5}{6})\\ x=\frac{1}{3}\pi (\frac{5}{6}+2k)\end{matrix}\right.\) với $k$ nguyên bất kỳ.