a)  Xét    \(\Delta ABH\)và   \(\Delta CBA\)có:

     \(\widehat{AHB}=\widehat{CAB}=90^0\)

      \(\widehat{B}\) chung

suy ra:   \(\Delta ABH~\Delta CBA\)

b)   Áp dụng định lý Pytago  vào tam giác vuông  ABC ta có:

           \(BC^2=AB^2+AC^2\)

\(\Rightarrow\)\(BC^2=15^2+20^2=625\)

\(\Rightarrow\)\(BC=\sqrt{625}=25\)

\(\Delta ABH~\Delta CBA\)\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{AC}=\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{20}=\frac{BH}{15}=\frac{15}{20}=\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AH}{20}=\frac{3}{4}\)\(\Rightarrow\)\(AH=15\)

         \(\frac{BH}{15}=\frac{3}{4}\)\(\Rightarrow\)\(BH=11,25\)

a: Xét ΔABH vuông tại H và ΔCAH vuông tại H có

\(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\)

Do đó: ΔABH\(\sim\)ΔCAH

b: \(BC=\sqrt{12^2+15^2}=3\sqrt{41}\left(cm\right)\)

\(AH=\dfrac{AB\cdot AC}{BC}=\dfrac{12\cdot15}{3\sqrt{41}}=\dfrac{60\sqrt{41}}{41}\left(cm\right)\)

\(BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{144}{3\sqrt{41}}=\dfrac{48\sqrt{41}}{41}\left(cm\right)\)

\(CH=\dfrac{AC^2}{BC}=\dfrac{225}{3\sqrt{41}}=\dfrac{75\sqrt{41}}{41}\left(cm\right)\)

\(S_{ABH}=\dfrac{60\sqrt{41}}{41}\cdot\dfrac{48\sqrt{41}}{41}:2=\dfrac{1440}{41}\left(cm^2\right)\)

\(S_{ACH}=\dfrac{60\sqrt{41}}{41}\cdot\dfrac{75\sqrt{41}}{41}:2=\dfrac{2250}{41}\left(cm^2\right)\)

tham khảo tuy ko giống lắm

a) Ta có: ˆA1+ˆB1=90oA1^+B1^=90o (ΔABHΔABH vuông tại H) (1)
lại có: ˆA1+ˆA2=90oA1^+A2^=90o (ΔABCΔABC vuông tại A) (2)
Từ (1) và (2) ⇒⇒ ˆA2=ˆB1A2^=B1^ (= ˆA1A1^)
ΔABHΔABH và ΔCAHΔCAH có:
ˆA2=ˆB1A2^=B1^ (cmt)
ˆHH^ chung
Vậy ΔABHΔABH đồng dạng với ΔCAHΔCAH.

b) Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHB, ta có:
BH2=AB2−AH2BH2=AB2−AH2
⇔BH=√152−122⇔BH=152−122
⇔BH⇔BH = 9 (cm)
Ta có: ΔABHΔABH đồng dạng với ΔCAHΔCAH
⇒⇒ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩AHCH=BHAH⇔12CH=912⇔CH=16(cm)ABAC=BHAH⇔15AC=912⇔AC=20(cm){AHCH=BHAH⇔12CH=912⇔CH=16(cm)ABAC=BHAH⇔15AC=912⇔AC=20(cm)
Vậy BH = 9 (cm)
CH = 16 (cm)
AC = 20 (cm)

c) Ta có: CEAC=CFCH(520=416=14)CEAC=CFCH(520=416=14)
⇒⇒ EF // AH, mà AH ⊥⊥ BC
⇒⇒ EF ⊥⊥ BC
⇒⇒ ΔCEFΔCEF vuông tại F.

d) ΔCEFΔCEF và ΔCBAΔCBA có:
ˆA=ˆF(=90o)A^=F^(=90o)
ˆCC^ chung
Vậy ΔCEFΔCEF đồng dạng với ΔCBAΔCBA
⇒⇒ CECB=CFCACECB=CFCA
⇒⇒ CE . CA = CF . CB (đpcm)

\(1,\)

\(a,\) Áp dụng HTL tam giác

\(\left\{{}\begin{matrix}AH^2=CH\cdot BH\\AB^2=BH\cdot BC\\AC^2=CH\cdot BC\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BH=\dfrac{AH^2}{CH}=\dfrac{25}{6}\left(cm\right)\\AB=\sqrt{\dfrac{25}{6}\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\dfrac{5\sqrt{61}}{6}\left(cm\right)\\AC=\sqrt{6\left(\dfrac{25}{6}+6\right)}=\sqrt{61}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\\ BC=\dfrac{25}{6}+6=\dfrac{61}{6}\left(cm\right)\)

\(b,S_{ABC}=\dfrac{1}{2}AH\cdot BC=\dfrac{1}{2}\cdot5\cdot\dfrac{61}{6}=\dfrac{305}{12}\left(cm^2\right)\)

a: góc ADH=góc AEH=góc DAE=90 độ

=>ADHE là hình chữ nhật

góc MAC+góc AED=90 độ

=>góc MAC+góc AHD=90 độ

=>góc MAC+góc B=90 độ

=>góc MAC=góc MCA và góc MAB=góc MBA

=>MA=MB=MC

=>M là trung điểm của BC

b: \(BC=\sqrt{15^2+20^2}=25\left(cm\right)\)

AH=15*20/25=12cm

HB=15^2/25=9cm

HC=20^2/25=16(cm)

AD=12^2/15=144/15=9,6cm

AE=12^2/20=7,2cm

\(S_{ADE}=\dfrac{1}{2}\cdot7.2\cdot9.6=34.56\left(cm^2\right)\)

1:

BC=15+20=35cm

AD là phân gíac

=>AB/BD=AC/CD

=>AB/3=AC/4=k

=>AB=3k; AC=4k

AB^2+AC^2=BC^2

=>25k^2=35^2

=>k=7

=>AB=21cm; AC=28cm

AH=21*28/35=16,8cm

\(AD=\dfrac{2\cdot21\cdot28}{21+28}\cdot cos45=12\sqrt{2}\left(cm\right)\)

2:

BC=căn 12^2+16^2=20cm

HB=AB^2/BC=12^2/20=7,2cm

HC=20-7,2=12,8cm

Xét tam giác ABC vuông tại A:

\(BC^2=AB^2+AC^2\left(Pytago\right)\)

\(\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{20^2+15^2}=25\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác ABC vuông tại A:

\(AH.BC=AB.AC\)

\(\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{BC}=\dfrac{20.15}{25}=12\left(cm\right)\)

Ta có: \(P_{ABC}=AB+AC+BC=20+15+25=60\left(cm\right)\)

Xét ΔAHB vuông tại H có HM là đường cao

nên \(AM\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)

Xét ΔAHC vuông tại H có HN là đường cao

nên \(AN\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AM\cdot AB=AN\cdot AC\)

hay AM/AC=AN/AB

Xét ΔAMN vuông tại A và ΔACB vuông tại A có

AM/AC=AN/AB

Do đó: ΔAMN\(\sim\)ΔACB

mình tóm tắt thôi nha

▲MHA đồng dạng ▲HBA(g-g)

▲ABC đồng dạng ▲HBA(g-g)

suy ra ▲MHA đồng dạng ▲ABC

▲MHA đồng đăng ▲ANM 

suy ra ▲ANM đồng dạng ▲ABC

suy ra tỉ số rồi ra

b)áp dụng PY-ta-go thì 

BC =25cm

ta có S▲ABC =1/2 AB.AC

mặt khác S▲ABC=1/2 AH.BC

suy  ra AB.AC=AH.BC

suy ra AH=(15.20)/25=12cm

ta có ▲ANM đồng dạng ▲ABC 

suy ra \(\frac{NM}{BC}=\frac{AM}{AC}\)

\(\Rightarrow\frac{AH}{BC}=\frac{AM}{AC}=\frac{12}{25}\)

\(\Rightarrow\frac{S▲ANM}{S▲ABC}=\left(\frac{12}{25}\right)^2=0,2304\)

nhớ kick cho mình nha

câu b) tính tỉ số diện tích dùm mình lun nha bạn cần gắp lắm!!!!!!!!!!

Lời giải:

Vì $AB: AC=3:7$ nên đặt $AB=3a; AC=7a$. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

$\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}$

$\frac{1}{42^2}=\frac{1}{(3a)^2}+\frac{1}{(7a)^2}$

$\frac{1}{42^2}=\frac{58}{441a^2}$

$\Rightarrow a=2\sqrt{58}$ (cm) 

$AB=3a=6\sqrt{58}$ (cm)

$BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(6\sqrt{58})^2-42^2}=18$ (cm)

Chu vi $ABH$: $AB+BH+AH=6\sqrt{58}+18+42=60+6\sqrt{58}$ (cm)

$AC=7a=14\sqrt{58}$ (cm)

$HC=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{(14\sqrt{58})^2-42^2}=98$ (cm)

$S_{AHC}=\frac{AH.HC}{2}=\frac{42.98}{2}=2058$ (cm vuông)

Hình vẽ: