cho x,y>0,Tìm GTNN của A=\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
MN giúp em với em cần gấp ạ
cho x,y>0.Tìm GTNN của A=\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
cho x,y>0.Tìm GTNN của A=\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^2}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
Cho x,y>0 thỏa \(x-2y-\sqrt{xy}+\sqrt{x}-2\sqrt{y}=0\)
Tính giá trị P=\(\dfrac{x+3y}{\left(\sqrt{x}+3\sqrt{y}\right)\sqrt{x+4y+4\sqrt{xy}}}\)
Mn giúp em với ạ em xin cảm ơn trước ạ<3
Có : \(x-2y-\sqrt{xy}+\sqrt{x}-2\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)+\sqrt{x}-2\sqrt{y}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-2\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x}=2\sqrt{y}\) (Do \(\sqrt{x}+\sqrt{y}+1>0,\forall x;y>0\))
\(\Leftrightarrow x=4y\)
Khi đó \(P=\dfrac{7y}{\left(2\sqrt{y}+3\sqrt{y}\right).\left(\sqrt{x}+2\sqrt{y}\right)}\)
\(=\dfrac{7y}{5\sqrt{y}.4\sqrt{y}}=\dfrac{7}{20}\)
tìm Min của:
\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\) với x,y >0
\(T=\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\dfrac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{y\left(y^3+\left(x+y\right)^3\right)}}\)
\(=\dfrac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\dfrac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\dfrac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\dfrac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\dfrac{4y^2}{4y^2+2x^2}\)
\(\ge\dfrac{2x^2+4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
x,y>0. tìm min k=\(\sqrt{\dfrac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\dfrac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
với x,y,z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=3.Tìm GTNN của
P=\(\dfrac{x}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\dfrac{y}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\dfrac{z}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\dfrac{3\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{32}\)
cho x,y,z>0 thỏa mãn \(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}=1\).Tìm GTNN của
P=\(\left(a^3+\dfrac{1}{b^3}\right)\left(b^3+\dfrac{1}{a^3}\right)\)
MN giúp e với ạ
Sao lúc thì $x,y,z$ lúc thì $a,b$ vậy bạn? Bạn coi lại đề.
Cho x, y>0. Tìm GTNN của
\(P=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y^3\right)}}\)
Lời giải:
Đặt $\frac{y}{x}=a(a>0)$ thì:
\(P=\sqrt{\frac{1}{1+(\frac{2y}{x})^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{x}{y})^3}}=\sqrt{\frac{1}{1+8a^3}}+\sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{1}{a})^3}}\)
Áp dụng BĐT AM-GM dạng $xy\leq \left(\frac{x+y}{2}\right)^2$ ta có:
\(1+8a^3=1+(2a)^3=(1+2a)(1-2a+4a^2)\leq \left(\frac{1+2a+1-2a+4a^2}{2}\right)^2=(2a^2+1)^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{1}{8a^3+1}}\geq \frac{1}{2a^2+1}(1)\)
\(1+(1+\frac{1}{a})^3=(2+\frac{1}{a})[1-(1+\frac{1}{a})+(1+\frac{1}{a})^2]\leq (\frac{3a^2+2a+1}{2a^2})^2\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{1}{a})^3}}\geq \frac{4a^2}{3a^2+2a+1}\)
Mà: \(\frac{4a^2}{3a^2+2a+1}\geq \frac{4a^2}{3a^2+a^2+1+1}=\frac{2a^2}{2a^2+1}\) nên \(\sqrt{\frac{4}{1+(1+\frac{1}{a})^3}}\geq \frac{2a^2}{2a^2+1}(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow P\geq \frac{1}{2a^2+1}+\frac{2a^2}{2a^2+1}=1$
Vậy $P_{\min}=1$ khi $a=1\Leftrightarrow x=y$
Cho 0<x,y,z<\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) thỏa mãn xy+yz+zx=\(\dfrac{3}{4}\)
Tìm Min \(Q=\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}+\dfrac{4y^2}{y\left(3-4y^2\right)}+\dfrac{4z^2}{z\left(3-4z^2\right)}\)
Ta chứng minh BĐT sau:
Ta có: \(x\left(3-4x^2\right)=-4x^3+3x-1+1=1-\left(x+1\right)\left(2x-1\right)^2\le1\)
\(\Rightarrow\dfrac{4x^2}{x\left(3-4x^2\right)}\ge\dfrac{4x^2}{1}=4x^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(Q\ge4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)=3\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{1}{2}\)