Câu 1 : Chờ (a,b) -1, chứng minh rằng :
a, (a , a - b) =1
b, (ab , a+b)=1
Câu 2 : Cho a>b, tính TH biết :
TH = -(a - b - c) + (-c + b +a) - (a + b)
Cho 3 số thực dương a,b,c thõa mãn 1/a+1/b+1/c =1.
Chứng minh rằng: a^2/(a+bc) + b^2/( b+ac)+ c^2/(c+ab)>= (a+b+c)_4
cho a,b,c là 3 số dương thoả mãn 1/a + 1b + 1/c <=3 .chứng minh rằng a/(1+b^2) + b/(1+c^2) + c/(1+a^2) + 1/2(ab+bc+ca) >= 3
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c thì: a^3+b^3+c^3/ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) >= 1/2
Ta chứng minh: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thực vậy, BĐT tương đương:
\(a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\Leftrightarrow a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng với a; b dương)
Vậy BĐT được chứng minh
Tương tự ta có: \(b^3+c^3\ge bc\left(b+c\right)\); \(c^3+a^3\ge ca\left(c+a\right)\)
Cộng vế với vế:
\(2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)}\ge\frac{a^3+b^3+c^3}{2\left(a^3+b^3+c^3\right)}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)
Câu 1 :Chứng minh rằng ƯCLN(a,b) = 1 thì ƯCLN(a ,a+b) = 1
Câu 2 : Tìm a,b biết a+b=42 và BCNN(a,b)=72
Chờ (a,b)=1 và ab=c^2 (c là số nguyên dương).Chứng minh rằng a;b là số chính phương.
1)Chứng minh rằng nếu a^2=bc thì a+b/a-b=c+a/c-a.Điều đảo lạ có đúng ko?
2)Biết bz-cy/a=cx-az/b=ay-bx/c.Chứng minh rằng a/x=b/y=c/z
1)Ta có: \(a^2=bc\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{a}\Rightarrow\frac{a+b}{c+a}=\frac{a-b}{c-a}\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\)
Điều ngược lại cũng đúng:
Vì \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+a}{c-a}\Rightarrow\left(a+b\right)\left(c-a\right)=\left(c+a\right)\left(a-b\right)\)
mà \(ac\)-\(a^2-bc-ab=ac+a^2-bc-ab\)
=>2bc=\(2a^2\) =>\(a^2=bc\) (đpcm)
Ý thứ 2 bạn nhân vế 1 với x, nhân vế 2 với y, nhân vế 3 với z.
Cộng lại với nhau sẽ được bz=cy; cx=az; ay=bx
=>\(\frac{b}{c}=\frac{z}{y}\) ; \(\frac{c}{a}=\frac{x}{z}\) => \(\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) ; \(\frac{c}{z}=\frac{a}{x}\) =>\(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\) (đpcm)
a. Cho a^2 + b^2 + c^2 + 3= 2(a + b + c). Chứng minh rằng: a=b=c=1
b. Cho (a + b + c)^2 = 3(ab + ac + bc). Chứng minh rằng: a=b=c
c. Cho a^2 + b^2 + c^2 = ab + ac +bc. Chứng minh rằng: a=b=c
a)a2+b2+c2+3=2(a+b+c)
=>a2+b2+c2+1+1+1-2a-2b-2c=0
=>(a2-2a+1)+(b2-2b+1)+(c2-2c+1)=0
=>(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2=0
=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1
-->Đpcm
b)(a+b+c)2=3(ab+ac+bc)
=>a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0
=>a2+b2+c2-ab-ac-bc=0
=>2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0
=>(a2- 2ab+b2)+(b2-2bc+c2) + (c2-2ca+a2) = 0
=>(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
c)a2+b2+c2=ab+bc+ca
=>2(a2+b2+c2)=2(ab+bc+ca)
=>2a2+2b2+c2=2ab+2bc+2ca
=>2a2+2b2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>a2+a2+b2+b2+c2+c2-2ab-2bc-2ca=0
=>(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ca+c2)=0
=>(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0
Hay (a-b)2=0 hoặc (b-c)2=0 hoặc (a-c)2=0
=>a-b hoặc b=c hoặc a=c
=>a=b=c
-->Đpcm
a) Ta có : \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Vì \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0,\left(c-1\right)^2\ge0\) nên pt trên tương đương với \(\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\) (1)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0,\left(b-c\right)^2\ge0,\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\) \(\Rightarrow a=b=c\)
c) Giải tương tự câu b) , bắt đầu từ (1)
Câu 1: Cho A=x+1/x^2+x, giá trị của x để A=0 là:
A. -1
B. Không có giá trị
C. 0
D. 1
Câu 2: cho a+b=-5 ; ab=6. Giá trị của biểu thức M=a^2+b^2+2009 là:
A. 2022
B. 2021
C. 2010
D. 2009
mn ơi giúp mình với =((
cho A=(4bc-a2)/(bc+2a2); B=(4ca-b2)/(ca+2a2); C=(4ab-c2)/(ab+2c2)
Chứng minh rằng nếu a+b+c=0 thì a.b.c=1