Đáp án đúng : A

\(AC=2a\sqrt{2}.\sqrt{2}=4a\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=2a\)

\(\Rightarrow SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=2a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\)

\(\Rightarrow V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=...\)

\(AC=2a\sqrt{2}.\sqrt{2}=4a\) \(\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=2a\)

\(\widehat{SAO}=30^0\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}SO=AO.tan30^0=\dfrac{2a\sqrt{3}}{3}\\SA=\dfrac{AO}{cos30^0}=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=\dfrac{256\pi a^3\sqrt{3}}{27}\)

Gọi M là trung điểm AB \(\Rightarrow\widehat{SMO}=45^0\)

\(OM=\dfrac{1}{2}AB=a\sqrt{2}\)

\(SO=OM.tan45^0=a\sqrt{2}\)

\(OA=\dfrac{1}{2}AC=2a\)

\(\Rightarrow SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=a\sqrt{6}\)

\(\Rightarrow R=\dfrac{SA^2}{2SO}=\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}\)

\(V=\dfrac{4}{3}\pi R^3=9\sqrt{2}\pi a^3\)

Gọi H là trung điểm của AB, suy ra A H ⊥ A B C D .

Gọi G là trọng tâm tam giác ∆SAB và O là tâm hình vuông ABCD.

Từ G kẻ GI//HO suy ra GI là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ∆SAB và từ O kẻ OI//SH thì OI là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD.

Ta có hai đường này cùng nằm trong mặt phẳng và cắt nhau tại I.

Suy ra I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

R = S I = S G 2 + G I 2 = a 21 6 .

Suy ra thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD là  V = 4 3 π R 3 = 7 21 54 π a 3

Đáp án A