Mik ko biết 

Ta có:AH\(\perp\)BC

=>\(AH\perp\)HM

=>\(\widehat{AHM}=90^0\)

Ta có: \(\widehat{AEM}=\widehat{ADM}=\widehat{AHM}=90^0\)

=>A,E,M,H,D cùng thuộc đường tròn đường kính AH

hình bạn tự vẽ nha :

12AM)" role="presentation" style="border:0px; direction:ltr; display:inline-block; float:none; font-size:18px; line-height:0; margin:0px; max-height:none; max-width:none; min-height:0px; min-width:0px; overflow-wrap:normal; padding:1px 0px; position:relative; text-align:left; white-space:nowrap; word-spacing:normal" class="MathJax_CHTML mjx-chtml">12AM)

$\to OP=OH=OM=OQ$

Mà $\Delta ABC$ đều, AH⊥BC→ˆBAH=ˆHAC=30oAH⊥BC→BAH^=HAC^=30o

→ˆHOQ=2ˆHAQ=60o,ˆPOH=2ˆPAH=60o→HOQ^=2HAQ^=60o,POH^=2PAH^=60o

Do $OP=OH,OH=OQ$

$\to \Delta OPH,\Delta OHQ$ đều

$\to PH=OP=OQ=QH$

$\to OPHQ$ là hình thoi

a) Có \widehat{APM}=\widehat{AHM}=\widehat{AQM}=90^oAPM=AHM=AQM​=90o nên 5 điểm A, P, M, H, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AM.
b) Vì AH là đường cao của tam giác đều ABC nên \widehat{BAH}=\widehat{HAC}=30^oBAH=HAC=30o.

Vì A, P, M, H, Q cùng nằm trên đường tròn tâm O nên OP = OH = OQ = OM và \widehat{POH}=2\widehat{PAH}=60^oPOH=2PAH=60o ; \widehat{QOH}=60^oQOH​=60o suy ra OPH và OQH là hai tam giác đều, do đó OQHP là hình thoi.

c) Gọi r là bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác APMHQ thì AM = 2r và OPH, OQH là hai tam giác đều cạnh r. Do đó PQ=2.\dfrac{r\sqrt{3}}{2}=AM.\dfrac{\sqrt{3}}{2}\ge AH.\dfrac{\sqrt{3}}{2}PQ=2.2r3​​=AM.23​​≥AH.23​​

Do đó PQ ngắn nhất khi và chỉ khi M là trung điểm BC.

a,Ta có: MP ⊥ AB(gt)

⇒ góc APM=90 (1)

Lại có AH là đường cao(gt)

⇒ góc AHM =90 (2)

Có: MQ⊥AC (gt)

⇒ góc MQA=90 (3)

Từ (1) (2) (3) ⇒ góc APM= góc AHM = góc MQA = 90

                      ⇒ A P M H Q cùng thuộc 1 đường tròn

b,Xét tam giác ABC đều(gt)

Có: AH là đường cao đồng thời là phân giác 

⇒ góc BAH = góc HAC = 30

Vì: A P H M Q cùng thuộc 1 đtròn (cmt)

⇒ OP=OH=OQ=OM

⇒ góc POH = 2 góc PAH = 60

⇒ góc QOH = 60

Xét tam giác OPH có:

Góc POH = 60(cmt)

       OP = OH(cmt)

⇒ tam giác OPH đều (1)

Xét tam giác OQH có:

Góc OQH = 60

        QO = OH

⇒ tam giácOQH đều(2)

Từ 1 và 2 suy ra OQHP là hthoi

Gọi G là đỉnh thứ tư của hình bình hành KMIG. Giao điểm của MG và IK là N.

Do tứ giác KMIG là hình bình hành nên MI = KG và ^MKG + ^KMI = 180⁰ hay ^MKG + ^EMD = 180⁰

Ta có: \(\frac{MI}{BC}=\frac{MK}{AC}\). Do MI = KG nên \(\frac{KG}{BC}=\frac{MK}{AC}\)

Xét tứ giác CDME có: ^CDM = ^CEM = 90⁰ => ^ECD + ^EMD = 180⁰. Mà ^MKG + ^EMD = 180⁰ (cmt)

Nên ^ECD = ^MKG hay ^ACB = ^MKG 

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)MGK có: \(\frac{GK}{BC}=\frac{MK}{AC}\); ^ACB = ^MKG => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)MGK (c.g.c)

=> ^BAC = ^GMK và \(\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)

Lại có: \(\frac{MK}{AC}=\frac{ML}{AB};\frac{MG}{AB}=\frac{MK}{AC}\)(cmt) => \(\frac{ML}{AB}=\frac{MG}{AB}\)=> ML = MG

Ta thấy: Tứ giác AFME có ^AFM = ^AEM = 90⁰ => ^FAE + ^FME = 180⁰ . Mà ^FAE = ^BAC = ^GMK (cmt)

Nên ^GMK + ^FME = 180⁰ => G;M;F thẳng hàng. Hay G;M;I thẳng hàng

Mặt khác: N là trung điểm KI và MG (T/c hbh) => Điểm M nằm trên trung tuyến LN của \(\Delta\)IKL (1)

MG = ML; MN = 1/2.MG (cmt) => MN=1/2.ML (2)

Từ (1) và (2) => M là trọng tâm của \(\Delta\)IKL (đpcm).

Sau gần một buổi trưa lăn lội với Thales, đồng dạng ở câu b thì t đã nghĩ đến cách của lớp 7 ~ ai dè làm được ^^

Sao bổ sung hình vẽ không được vậy nè

a. Em tự giải

b. Do tam giác ABC đều và AH là đường cao \(\Rightarrow AH\) đồng thời là phân giác góc A

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{CAH}=\dfrac{1}{2}\widehat{A}=\dfrac{1}{2}.60^0=30^0\)

AEMHF nội tiếp đường tròn tâm O \(\Rightarrow\widehat{HOF}=2.\widehat{CAH}=60^0\) (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung HF)

Mà \(OH=OF\) (cùng là bán kính) \(\Rightarrow\Delta OHF\) đều (tam giác cân có 1 góc 60 độ)

Tương tự ta có  \(\widehat{HOE}=60^0\Rightarrow\Delta OHE\) đều

\(\Rightarrow OE=OF=HE=HF\Rightarrow OEHF\) là hình thoi

c.

Gọi D là trung điểm AH \(\Rightarrow OD\perp AH\) \(\Rightarrow OH\ge DH\Rightarrow OH\ge\dfrac{1}{2}AH\Rightarrow OH\ge\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)

Gọi I là giao điểm EF và OH \(\Rightarrow I\) là tâm hình thoi OEHF

\(S_{OEHF}=2S_{OHE}=2EI.OH=2\sqrt{OE^2-OI^2}.OH\)

\(=2OH.\sqrt{OH^2-\left(\dfrac{OH}{2}\right)^2}=OH^2\sqrt{3}\ge\left(\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2.\sqrt{3}=\dfrac{3a^2\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(OH=DH\Leftrightarrow O\) trùng D

\(\Rightarrow M\) trùng H

cj cần gấp hok ?