cho đường tròn O, đường kính AB cố định. đường kính CD thay đổi. AC<AD cắt tiếp tuyến tại B lần lượt tại E, F. Tiếp tuyến tại C,D cắt EF tại I, K. M là tđ OB. cm IK vuông góc AK
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF
Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF.
A.Là đường tròn (O) bán kính AB
B. Là tập hợp đường tròn (O’) với (O’) làảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ B A →
C. Là tập hợp đường tròn (O’) với (O’) làảnh của (O) qua phép tịnh tiến theo vectơ A B →
D. Là tập hợp đường thẳng d đi qua A và vuông góc với AB
Đáp án B
Gọi H là trực tâm tam giác CEF
Ta lại có: C A F ^ = 90 o
3 điểm F, A, H thẳng hàng ⇒ E A H ^ = 90 o
Mà B C E ^ = 90 o
=> A H / / B C A B / / H C
AB = HC = 2R
Gọi O’ làảnh của O qua phép tịnh tiến theo vectơ B A →
OO’ = HC ( = 2R)
MàOO’ // HC ( cùng vuông vớiEF)
O’H = OC = R
Tập hợp H là đường tròn tâm (O’;R)
(CMTT với K là trực tâm tam giác DEF)
Cho đường tròn (O;R) đươngg kính AB cố định và đường kính CD thay đổi. Tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B cắt AC tại E, AD tại F. Tìm tập hợp trực tâm các tam giác CEF và DEF
Cho đường tròn (O;R) có AB là đường kính cố định, CD là đường kính thay đổi. Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn tại B. AC,AD lần lượt cắt d tại P;Q.
a/ C/m tứ giác CPQD nội tiếp
b/ C/m trung tuyến AI của tam giác AQP vuông góc với CD
c/ Gọi E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác CPD. Khi đường kính CD thay đổi, điểm E di chuyển trên đường nào.
a) Ta có: Đường tròn (O;R) có đường kính CD và điểm A nằm trên cung CD => ^CAD=900
=> ^PAQ=900 => \(\Delta\)APQ vuông tại A
Do PQ là tiếp tuyến của (O) tại B => AB là đường cao của \(\Delta\)APQ
=> ^PAB=^AQP (Cùng phụ ^APQ) hay ^CAO=^DQP
Mà \(\Delta\)AOC cân tại O => ^CAO=^ACO => ^DQP=^ACO
Lại có: ^ACO+^PCD=1800 => ^DQP+^PCD=1800
=> Tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn (đpcm).
b) Xét \(\Delta\)APQ vuông tại A: Có đường trung tuyến AI => \(\Delta\)AIQ cân tại I
=> ^IAQ=^IQA hay ^IAQ=^DQP => ^IAQ=^ACO (Do ^DQP=^ACO)
Hay ^IAQ=^ACD. Mà ^IAQ+^CAI=900 => ^ACD+^CAI=900
=> AI vuông góc với CD (đpcm).
c) Ta thấy tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn
=> 4 đường trung trực của CP;CD;DQ;PQ cắt nhau tại 1 điểm (1)
E là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta\)CPQ => Trung trực của CP và CD cắt nhau tại E (2)
Từ (1) và (2) => Điểm E nằm trên trung trực của PQ.
Lại có: I là trung điểm PQ => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn EI (*)
AB vuông góc PQ; EI cũng vuông góc PQ => AB//EI hay AO//EI (3)
E thuộc trung trực CD; O là trung điểm CD => OE vuông góc CD.
Mà AI vuông góc CD => OE//AI (4)ư
Từ (3) và (4) => Tứ giác AOEI là hình bình hành => AO=EI (**)
Từ (*) và (**) => E là điểm cách PQ 1 khoảng bằng đoạn AO
Mà AO là bk của (O); PQ là tiếp tuyến của (O) tại B
Nên ta có thể nói: Điểm E là điểm cách tiếp tuyến của (O) tại B một khoảng bằng độ dài bán kính của (O)
Vậy khi đường kính CD thay đổi thì điểm E di động trên đường thẳng song song với tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) và cách (O) 1 khoảng bằng độ dài bk của (O).
cho (o;r) đường kính ab cố định, cd là đường kính thay đổi không trùng ab . tiếp tuyến của(o;r) tại cắt các đường thẳng ac,ad tại e,f.
a) Gọi m là trung điểm ef. c/m am vuông cd
b) Xác định vị trí của đường kính cd để Scdef = 3Sacd
giúp mình với help meeeee
a: góc EAF=90 độ, M là trung điểm của EF
=>MA=ME=MF
=>góc MAE=góc MEA
AC*AE=AD*AF
=>AC/AD=AF/AE
=>ΔACD đồng dạng với ΔAFE
=>góc ACD=góc AFE
AM cắt CD tại L
góc LCA+góc LAC=góc AEF+góc AFE=90 độ
=>AM vuông góc CD
Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O;R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K. Chứng minh IK song song với AB
Cho đường tròn (O), đường kính AB và một điểm C \(\in\)(O). Một đường tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đường kính AB tại D. AC cắt (I) tại M; BC cắt (I) tại N. Chứng minh:
a) MN là đường kính của ( I )
b) ID \(⊥\)MN
c) CD đi qua một điểm cố định khi (I) thay đổi
cho đường tròn tâm o bán kính R , dây BC cố định , BC< 2R . điểm A thay đổi trên cung lớn BC sao cho AB < AC . Kẻ đường kính Ad . BC cắt tiếp tuyến tại A của (o) ở M. a, IA . ED = OE .AC , DC // AE . b , Gọi G là gaio điểm của MO với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . chứng minh tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABG chạy trên một đường cố định .
Cho đường tròn (O) đường kính AB cố định, MN là đường kính di động khác AB và không vuông góc với AB. Đường thẳng d là tiếp tuyến với (O) tại B, Các đường thẳng AM, AN cắt d lần lượt tại C và D. Gọi I là trung điểm của CD , Hlaf giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi.
a)Chứng minh rằng tích AC.AM không đổi.
b) CMND nội tiếp.
c) Điểm H luôn thuộc 1 đường tròn cố định.
a) góc MAN nội tiếp chắn nửa (O) => góc MAN = 900 hay góc CAD = 900
tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB2 = 4R2 không đổi
b) Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA
mà góc BAD = góc ACD (cùng phụ góc BAC) => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp
c) tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA
mà góc IDA = góc AMN( tứ giác CMND nội tiếp) => góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA
=> góc AHN = 900 hay góc AHO = 900 , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO
a﴿ góc MAN nội tiếp chắn nửa ﴾O﴿ => góc MAN = 90o hay góc CAD = 90o
tam giác CAD vuông tại A có đường cao AB => AM.AC = AB 2 = 4R 2 không đổi
b﴿ Tam giác OAN có OA = ON = R nên cân tại O => góc OAN = góc ONA hay góc BAD = góc MNA
mà góc BAD = góc ACD ﴾cùng phụ góc BAC﴿ => góc MNA = góc ACD => tứ giác CMND nội tiếp
c﴿ tam giác ACD vuông tại A có AI là trung tuyến => IA = ID = 1/2 CD => tam giác IAD cân tại I => góc IAD = góc IDA
mà góc IDA = góc AMN﴾ tứ giác CMND nội tiếp﴿
=> góc IAD = góc AMN mà góc AMD phụ góc MNA => góc IAD phụ góc MNA
=> góc AHN = 90 0 hay góc AHO = 90 0 , mà OA = R không đổi => H nằm trên đường tròn đường kính AO