Bài 2:

Với $n$ chẵn thì $n+4$ chẵn

$\Rightarrow (n+4)(n+7)$ là số chẵn

Với $n$ lẻ thì $n+7$ chẵn

$\Rightarrow (n+4)(n+7)$ là số chẵn

Vậy $(n+4)(n+7)$ chẵn với mọi số tự nhiên $n$ (đpcm)

Bài 3:

a. 

$101\vdots x-1$

$\Rightarrow x-1\in\left\{\pm 1; \pm 101\right\}$

$\Rightarrow x\in\left\{0; 2; 102; -100\right\}$

Vì $x\in\mathbb{N}$ nên $x=0, x=2$ hoặc $x=102$

b.

$a+3\vdots a+1$

$\Rightarrow (a+1)+2\vdots a+1$
$\Rightarrow 2\vdots a+1$

$\Rightarrow a+1\in\left\{\pm 1; \pm 2\right\}$

$\Rightarrow a\in\left\{0; -2; 1; -3\right\}$
 

2.

\(5^{333}=\left(5^3\right)^{111}=125^{111}\)

\(3^{555}=\left(3^5\right)^{111}=243^{111}\)

Vì \(125^{111}< 243^{111}\Rightarrow5^{333}< 3^{555}\)

Vậy \(125^{111}< 243^{111}\Rightarrow5^{333}< 3^{555}\)

1) Ta có : (aⁿ)^m = aⁿ.aⁿ...aⁿ   = a^n.m (đpcm)

                           m thừa số

2) a. Ta có 5³³³ = (5³)¹¹¹ = 125¹¹¹

Lại có 3⁵⁵⁵ = (3⁵)¹¹¹ = 243¹¹¹ 

Vì 125 < 243 

=> 125¹¹¹ < 243¹¹¹

=> 5³³³ < 3⁵⁵⁵

b. 2⁴⁰⁰ = 2^4.100 = (2⁴)¹⁰⁰ = 16¹⁰⁰

4²⁰⁰ = 4^2.100 = (4²)¹⁰⁰ = 16¹⁰⁰

=> 2⁴⁰⁰ = 4²⁰⁰  (= 16¹⁰⁰)

3) Ta có 3²⁰⁰⁸ = (3⁴)⁵⁰² = 81⁵⁰² 

Vì ta có 81.81 = 6561 (có 4 chữ số)

=> 81.81.81 = 531441 (có 6 chữ số) 

Nhận thấy tích của x số 81 là số có 2x chữ số 

mà 81⁵⁰² có 502 số 81 và số đó có 502 . 2 = 1004 chữ số < 1005

=> 3²⁰⁰⁸ là số có ít hơn 1005 chữ số

3. Ta thấy: \(3^{2008}=\left(3^2\right)^{1004}=9^{1004}< 10^{1004}=\overline{10...00}\)(2014 số 0) nên \(10^{2004}\)có 15 chữ số mà \(10^{2004}\)là số bé nhất có 1005 chữ số.Nếu \(9^{1004}\)có 1005 chữ số thì \(9^{1004}>10^{1004}\)(Vô lí)

\(\Rightarrow9^{1004}\)chỉ có ít hơn 1005 chữ số.

Vậy \(3^{2008}\)là số có ít hơn 1005 chữ số. (đpcm)

Nếu \(a>b\Rightarrow an>bn\Rightarrow ab+an>ab+bn\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+n\right)>b\left(a+n\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+n}{b+n}< \dfrac{a}{b}\)

Nếu \(a< b\Rightarrow an< bn\Rightarrow ab+an< ab+bn\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+n\right)< b\left(a+n\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+n}{b+n}>\dfrac{a}{b}\)

a) Dễ thấy P = 10²¹²⁰ + 2120

= 10²¹²⁰ + 212.10

= 10(10²¹¹⁹ + 212) 

=> P \(⋮10\)

Lại có P = 10²¹²⁰ + 2120

= 10(10²¹¹⁹ + 212)

= 10.(1000...00 + 212) 

         2119 số 0

= 10.1000...0212

          2116 số 0

Tổng các chữ số của số S = 1000...0212 (2116 chữ số 0)

là 1 + 0 + 0 + 0 +.... + 0 + 2 + 1 + 2 (2116 hạng tử 0)

= 1 + 2 + 1 + 2 = 6 \(⋮3\)

=> S \(⋮3\Rightarrow P=10S⋮3\)

mà \(\left\{{}\begin{matrix}P⋮10\\P⋮3\\\left(10,3\right)=1\end{matrix}\right.\Rightarrow P⋮10.3\Rightarrow P⋮30\)

Gọi (a,b) = d \(\left(d\inℕ^∗;d\ne1\right)\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}a⋮d\\b⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2n+3⋮d\\5n+2⋮d\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5.(2n+3)⋮d\\2.(5n+2)⋮d\end{matrix}\right.\)

=> \(\left\{{}\begin{matrix}10n+15⋮d\left(1\right)\\10n+4⋮d\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Lấy (1) trừ (2) ta được 

(10n + 15) - (10n + 4) \(⋮d\)

<=> 11 \(⋮d\)

\(\Leftrightarrow d\in\left\{1;11\right\}\) mà d \(\ne1\)

<=> d = 11 

Vậy (a;b) = 11

Lời giải:
\(A=\frac{n}{n+1}+\frac{n+1}{n+2}=\frac{n(n+2)+(n+1)^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2n^2+4n+2}{n^2+3n+2}>1\) do $2n^2+4n+2> n^2+3n+2$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$B=\frac{2n+1}{2n+3}< 1$ do $2n+1< 2n+3$

Do đó $A>B$

P = a(b - a) - b(a + c) - bc

= ab - a² - ab - bc - bc

= -a² - 2bc

= -(a² + 2bc)

Do a, b, c ∈ ℕ và a ≠ 0

⇒ a² + 2bc > 0

⇒ -(a² + 2bc) < 0

Vậy P luôn âm

a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là \(x,x+1,x+2\left(x\in N\right)\)

- Nếu \(x=3k\) ( thỏa mãn ). Nếu \(x=3k+1\) thì \(x+2=3k+1+2=\left(3k+3\right)⋮3\)

- Nếu \(x=3k+2\) thì \(x+1=3k+1+2=\left(3k+3\right)⋮3\)

Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiêp có 1 số chia hết cho 3.

b) Nhận thấy \(17^n,17^n+1,17^n+2\) là 3 số tự nhiên liên tiếp mà \(17^n\) không chia hết cho 3, nên trong 2 số còn lại 1 số phải \(⋮3\)

Do vậy: \(A=\left(17^n+1\right)\left(17^n+2\right)⋮3\)