Ta có: MA = MN (tính chất đối xứng tâm)

ME = MF (tính chất đối xứng tâm)

Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành

Suy ra: AF // NE

Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên)

Suy ra: AF ⊥ AB tại A

Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tam giác ABM nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại M

Suy ra: AN ⊥ BM

Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C

Suy ra: AC ⊥ BN

Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trực tâm của tam giác ABN

Suy ra: NE ⊥ AB

Trong tam giác ABN ta có: AN ⊥ BM và AM = MN

Suy ra tam giác ABN cân tại B

Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA)

Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC

Mặt khác: AC ⊥ BN (chứng minh trên)

Suy ra: FN ⊥ BN tại N

Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)

a: Xét (O) có

ΔAMB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔAMB vuông tại M

Xét (O) có

ΔACB nội tiếp

AB là đường kính

Do đó: ΔACB vuông tại C

Xet ΔNAB có

AC.BM là các đường cao

AC cắt BM tại E

Do đó: E là trực tâm

=>NE vuông góc với AB

b: Xét tứ giác NEAF có

M là trung điểm chung của NA và EF

nên NEAF là hình bình hành

=>NE//AF

=>AF vuông góc với AB

=>FA là tiêp tuyến của (O)

Em vừa giải ra, nhưng hy vọng tìm được cách đơn giản hơn.

Cách của em:

a+ b)

Dễ có AN là đường trung trực FE nên AF = FE.

^FAE=180^o - 2. ^AEF = 180^o - 2. ^CEB = 2. ^EBC

Dễ có BM là đường trung trực AN nên BN = BA.

Do đó tam giác NBA cân tại B.

Vậy BM là đường trung trực đồng thời là phân giác.

Vậy ^EBC = ^ABE suy ra ^FAE = 2. ^EBC = ^EBC +^ABE = ^CBA.

Ta có: ^FAB = ^FAE+^CAB=^CBA +^CAB = 90^o

Vậy FA là tiếp tuyến (O) (1)

Mặt khác tứ giác FNEA có FM = ME; MN = MA nên là hình bình hành.

Vậy FA // NE (2)

Từ (1) và (2) suy ra NE vuông góc với AB.

c) BM là đường trung trực AN nên BF là đường trung trực AN

Có ngay FN = FA \(\Rightarrow\widehat{FNA}=\widehat{FAN}\)

Dễ chứng minh $\Delta MBN = \Delta MBA$ nên $\widehat{ANB}=\widehat{NAB}$

$\widehat{FNB}=\widehat{FAN}+\widehat{NAB}=\widehat{FAB}=90^o$

d) $BF^2-FN^2 =BN^2 = BM \cdot BF$

Em nghĩ quá phức tạp :D

\(\widehat{AMB}\) và \(\widehat{ACB}\) đều là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên AC và BM là 2 đường cao của tam giác ABN

\(\Rightarrow\) E là trực tâm \(\Rightarrow NE\) là đường cao thứ 3 \(\Rightarrow NE\perp AB\)