Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại D có DE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{DC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{32^2}=\dfrac{265}{9216}\)

hay \(DE=\dfrac{96\sqrt{265}}{265}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔDEA vuông tại E, ta được:

\(DE^2+EA^2=DA^2\)

\(\Leftrightarrow EA^2=32^2-\left(\dfrac{96\sqrt{265}}{265}\right)^2=\dfrac{262144}{265}\)

hay \(EA=\dfrac{512\sqrt{265}}{265}\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔDAC vuông tại D có DE là đường cao ứng với cạnh huyền AC, ta được:

\(ED^2=EA\cdot EC\)

\(\Leftrightarrow EC=\dfrac{9216}{265}\cdot\dfrac{265}{512\sqrt{265}}\)

hay \(EC=\dfrac{18\sqrt{265}}{265}\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABC

\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10\left(cm\right)\)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông ABC với đường cao BE:

\(AB^2=AE.AC\Rightarrow AE=\dfrac{AB^2}{AC}=6,4\left(cm\right)\)

\(AB.AC=BE.AC\Rightarrow AE=\dfrac{AB.AC}{BC}=4,8\left(cm\right)\)

b.

Ta có: \(EC=AC-AE=3,6\left(cm\right)\)

Do AB song song CF, theo định lý Talet:

\(\dfrac{CF}{AB}=\dfrac{CE}{AE}\Rightarrow CF=\dfrac{AB.CE}{AE}=4,5\left(cm\right)\)

\(\Rightarrow DF=DC-CF=8-4,5=3,5\left(cm\right)\)

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ADF:

\(AF=\sqrt{AD^2+DF^2}=\dfrac{\sqrt{193}}{2}\left(cm\right)\)

Pitago tam giác vuông BCF:

\(BF=\sqrt{BC^2+CF^2}=7,5\left(cm\right)\)

Kẻ FH vuông góc AB \(\Rightarrow ADFH\) là hình chữ nhật (tứ giác 3 góc vuông)

\(\Rightarrow FH=AD=6\left(cm\right)\)

\(S_{ABF}=\dfrac{1}{2}FH.AB=\dfrac{1}{2}.6.8=24\left(cm^2\right)\)

Lời giải:
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông với tam giác $ADC$:

$\frac{1}{DE^2}=\frac{1}{AD^2}+\frac{1}{DC^2}=\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}$

$\Rightarrow DE=4,8$ (cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tgv với tam giác $ADF$:

$AD^2=DE.DF$

$6^2=4,8.DF\Rightarrow DF=7,5$ (cm)

$EF=DF-DE=7,5-4,8=2,7$ (cm)

Tiếp tục áp dụng hệ thức lượng trong tgv $ADF$:

$AE^2=DE.DF=4,8.2,7=12,96\Rightarrow AE=3,6$ (cm)

$AF=\sqrt{AE^2+EF^2}=\sqrt{3,6^2+2,7^2}=4,5$ (cm) theo định lý Pitago

$BF=AB-AF=CD-AF=8-4,5=3,5$ (cm)

Áp dụng htl trong tgv với tam giác $ADC$:

$DE^2=AE.CE$

$4,8^2=3,6.CE\Rightarrow CE=6,4$ (cm)

Hình vẽ:

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔADC vuông tại D, ta được:

\(\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{DA^2}+\dfrac{1}{DC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{1}{64}=\dfrac{100}{2304}\)

hay DE=4,8(cm)

xét ΔABC  và ΔADC có

\(\widehat{ADC}\)=\(\widehat{ABC}\)=90\(^o\)

\(\dfrac{AB}{DC}\)=\(\dfrac{BC}{AD}\)=1

=>ΔABC∼ΔADC(c.g.c)

a: Xet ΔABD vuông tại A và ΔDCA vuông tại D có

góc ABD=góc DCA

=>ΔABD đồng dạng vơi ΔDCA

b: Xét ΔADF vuông tại A và ΔDCA vuông tại D có

góc AFD=góc DAC

=>ΔADF đồng dạng với ΔDCA

Xét ΔADC vuông tại D có DE là đường cao ứng với cạnh huyền AC nên ta có:

\(\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{AD^2}+\dfrac{1}{DC^2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{DE^2}=\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{25}{576}\)

\(\Leftrightarrow DE^2=23.04\)

hay DE=4,8(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔAFD vuông tại A có AE là đường cao ứng với cạnh huyền DF, ta được:

\(DA^2=DE\cdot DF\)

\(\Leftrightarrow DF=\dfrac{6^2}{4.8}=7,5\left(cm\right)\)

Ta có: DE+EF=DF(E nằm giữa D và F)

nên EF=DF-DE=7,5-4,8=2,7(cm)

Áp dụng định lí Pytago vào ΔADE vuông tại E, ta được:

\(AD^2=AE^2+DE^2\)

\(\Leftrightarrow AE^2=6^2-4.8^2=12.96\)

hay AE=3,6(cm)

Xét ΔAEF vuông tại E và ΔABC vuông tại B có 

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAEF\(\sim\)ΔABC(g-g)

Suy ra: \(\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AF}{AC}\)(Các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

hay \(AF=\dfrac{AE\cdot AC}{AB}=\dfrac{3.6\cdot8}{6}=4.8\left(cm\right)\)

Ta có: AF+FB=AB(F nằm giữa A và B)

nên BF=AB-AF=8-4,8=3,2(cm)