Chứng minh bất đẳng thức sau :
\(e^x\ge1+x+\frac{x^2}{2}+.....+\frac{x^n}{n!}\) với mọi \(x\ge0;n\in N\)
Những câu hỏi liên quan
Chứng minh bất đẳng thức sau :
\(e^x\ge1+x\) với mọi \(x\ge0\)
Xét hàm số \(f\left(x\right)=e^x-1-x\) với \(x\ge0\)
Ta có : \(f'\left(x\right)=e^x-1\ge0\) với mọi \(x\ge0\)
và : \(f'\left(x\right)=0\Leftrightarrow x=0\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến với \(x\ge0\) nên với \(x\ge0\Leftrightarrow f\left(x\right)\ge f\left(0\right)=0\)
hay \(e^x-1-x\ge0\) với mọi \(x\ge0\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức:
\(\frac{x^n\left(x^{x+1}+1\right)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}\)
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho số nguyên dương n. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, ta có bất đẳng thức:
\(\frac{x^n\left(x^{n+1}+1\right)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}\)
Tìm giá trị lớn nhất của m để bất đẳng thức \(\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\ge m\) luôn đúng thỏa mãn với mọi giá trị nguyên của x (ĐK:\(x\ge0;x\ne1;x\ne4\))
Cho biểu thức: \(P=\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\) với ( \(x\ge0;x\ne1\) )
a) Rút gọn biểu thức trên
b) Chứng minh rằng P>0 với mọi \(x\ge0\) và \(x\ne1\)
Chứng minh bất đẳng thức sau với x,y,z dương \(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) ta có:
\(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{x+z}\)
\(\ge\frac{9}{x+y+y+z+x+z}=\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1, Chứng minh bất đẳng thức:
\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}\ge3\forall a\ge1\)
2, Giải phương trình:
\(x\left(x^2-3x+3\right)+\sqrt{x+3}=3\)
Mong mọi người giúp mình với ạ!! Mình cảm ơn nhiều!!
Bài 1:
Vì $a\geq 1$ nên:
\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)
\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=1$
Đúng 3
Bình luận (0)
Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$
Xét hàm:
\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)
\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)
Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ
\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất
Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.
Đúng 3
Bình luận (0)
Chứng minh rằng với mọi số dương x,y ta luôn có bất đẳng thức \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\)\(\ge\)\(\frac{9}{4}\)
\(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)( bđt cauchy )
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)( bđt cauchy )
\(\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{xy}{\left(x+y\right)^2}\ge2+\frac{\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}{\left(x+y\right)^2}=2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}\)
CMR bất đẳng thức sau đúng với mọi x;y là các số thực bất kì khác 0 :
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right) \Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2+2\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)(1)
Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\), (1) trở thành \(t^2-3t+2\ge0\)(2)
(2) đúng khi \(t\le1\)hoặc \(t\ge2\), chú ý rằng theo bất đẳng thức AM - GM, ta có:
\(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{xy}}=2\)với x,y > 0
Do đó (2) đúng, suy ra (1) đúng ( đpcm ).
Đúng 0
Bình luận (0)
Đề đúng không thế bạn. 3 hay là 2 thế
Đúng 0
Bình luận (0)