dk \(x\ge0;2x+1\ge0< =>x\ge0\)

2(x+1)\(\sqrt{x}+\sqrt{3\left(x+1\right)^2\left(2x+1\right)}=\left(x+1\right)\left(5x^2-8x+8\right)< =>\)

\(2\sqrt{x}+\sqrt{3\left(2x+1\right)}=5x^2-8x+8\)(x+1>0 với x\(\ge0\)) <=>

2\(\sqrt{x}-2+\sqrt{6x+3}-3=5x^2-8x+3\) <=>\(\frac{2\left(x-1\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{6\left(x-1\right)}{\sqrt{6x+3}+3}=\left(x-1\right)\left(5x-3\right)< =>\)x-1=0 <=>x= 1 hoặc

\(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}=5x-3\)

x>1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+3}< \frac{2}{1+1}+\frac{6}{3+3}=2\)   hay 5x- 3<2 <=> x<1( vô lý)

x<1 thì \(\frac{2}{\sqrt{x}+1}+\frac{6}{\sqrt{6x+3}+}>2\) hay 5x-3>2 <=> x>1 (vô lý)

x=1 thỏa mãn

vậy pt có nghiệm duy nhất x=1

Câu 4:

Giả sử điều cần chứng minh là đúng

\(\Rightarrow x=y\), thay vào điều kiện ở đề bài, ta được:

\(\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}=\sqrt{x+2014}+\sqrt{2015-x}-\sqrt{2014-x}\) (luôn đúng)

Vậy điều cần chứng minh là đúng

2) \(\sqrt{x^2-5x+4}+2\sqrt{x+5}=2\sqrt{x-4}+\sqrt{x^2+4x-5}\)

⇔ \(\sqrt{\left(x-4\right)\left(x-1\right)}-2\sqrt{x-4}+2\sqrt{x+5}-\sqrt{\left(x+5\right)\left(x-1\right)}=0\)

⇔ \(\sqrt{x-4}.\left(\sqrt{x-1}-2\right)-\sqrt{x+5}\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left(\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-1}-2\right)=0\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}-\sqrt{x+5}=0\\\sqrt{x-1}-2=0\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x-4}=\sqrt{x+5}\\\sqrt{x-1}=2\end{matrix}\right.\)

⇔ \(\left[{}\begin{matrix}x\in\varnothing\\x=5\end{matrix}\right.\)

⇔ x = 5

Vậy S = {5}

Bài 1:

ĐKĐB suy ra $x(x+1)+y(y+1)=3x^2+xy-4x+2y+2$

$\Leftrightarrow 2x^2+x(y-5)+(y-y^2+2)=0$

Coi đây là PT bậc 2 ẩn $x$

$\Delta=(y-5)^2-4(y-y^2+2)=(3y-3)^2$Do đó:

$x=\frac{y+1}{2}$ hoặc $x=2-y$. Thay vào một trong 2 phương trình ban đầu ta thu được:

$(x,y)=(\frac{-4}{5}, \frac{-13}{5}); (1,1)$

a. ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=2+2\sqrt{1-t^2}\)

Pt trở thành:

\(t.t^2=8\Leftrightarrow t^3=8\Leftrightarrow t=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=2\)

\(\Leftrightarrow2+2\sqrt{1-x^2}=2\)

\(\Leftrightarrow1-x^2=0\Rightarrow x=\pm1\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ge-1\)

Đặt \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=t>0\)

\(\Rightarrow t^2=3x+4+2\sqrt{2x^2+5x+3}\)

Pt trở thành:

\(t=t^2-4-16\Leftrightarrow...\)