bpt (1) \(\Leftrightarrow x\in\left(-5;3\right)\)=> S1=(-5;3)

bpt (2):

Nếu m=-1 =>S2=\(\varnothing\)

Nếu m>-1 =>S2=\(\left[\frac{3}{m+1};+\infty\right]\)

Nếu m<-1 => S2=\(\left[-\infty;\frac{3}{m+1}\right]\)

Hệ có nghiệm \(\Leftrightarrow S1\cap S2\ne\varnothing\)

Nếu m=-1 =>\(S1\cap S2=\varnothing\)   (Loại)

Nếu m>-1 =>\(S1\cap S2\ne\varnothing\)

Nếu m<-1 =>\(S1\cap S2\ne\varnothing\)

vì sao mà hệ có nghiệm thì S1 giao S2 phải khác tập hợp rỗng ? mà tại sao bạn lại biện luận bất phương trình như vậy ? 

nếu S1 giao S2 = rỗng thì hệ vô nghiệm

Ta có bất phương trình  x 2  - 3x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2.

Yêu cầu bài toán tương đương với bất phương trình:

m x 2  – 2(2m + 1)x + 5m + 3 ≤ 0 (1) có nghiệm x ∈ S = [1;2].

Ta đi giải bài toán phủ định là: Tìm m để bất phương trình (1) vô nghiệm trên S

Tức là bất phương trình f(x) = m x 2  - 2(2m + 1)x + 5m + 3 < 0 (2) đúng với mọi x ∈ S.

• m = 0 ta có (2) -2x + 3 < 0 ⇔ x > 3/2 nên (2) không đúng với ∀x ∈ S

• m ≠ 0 tam thức f(x) có hệ số a = m, biệt thức Δ' = - m 2  + m + 1

Bảng xét dấu

Chọn đáp án C

Để pt có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\Leftrightarrow4-4\left(m-1\right)\ge0\)\(\Leftrightarrow2\ge m\)

Theo viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(1\right)\\x_1x_2=m-1\end{matrix}\right.\) 

\(x_1^4-x_1^3=x_2^4-x_2^3\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1^4-x_2^4\right)-\left(x_1^3-x_2^3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1+x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2\right)-\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left[2\left(x_1^2+x_2^2\right)-x_1^2-x_1x_2-x_2^2\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-x_2\right)\left(x_1^2+x_2^2-x_1x_2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x_1-x_2=0\) (2) ( vì \(x_1^2-x_1x_2+x_2^2>0;\forall x,y\))

Từ (1) (2) \(\Rightarrow x_1=x_2=1\)

\(\Rightarrow x_1x_2=m-1=1\) \(\Leftrightarrow m=2\) (Thỏa)

Vậy...

x 2   -   2 x   +   m 2   +   m   +   3   =   0 có Δ '   =   - m 2   -   m   -   2   <   0 , ∀m. Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Theo hệ thức Vi-ét ta có:  x 1 x 2  =5/3

Suy ra: 1/3 . x 2  = 5/3 ⇔  x 2  =5/3 : 1/3 =5/3 .3=5

cũng theo hệ thức Vi-ét ta có:  x 1  +  x 2  =[2(m -3)]/3

Suy ra: 1/3 +5 = [2(m -3)]/3 ⇔ 2(m -3) =16 ⇔ m-3=8 ⇔ m=11

Vậy với m = 11 thì phương trình 3 x 2  -2(m -3)x +5 =0 có hai nghiệm  x 1  = 1/3 ,  x 2  = 5

a.

Pt có 2 nghiệm pb khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+1\ne0\\\Delta'=\left(m+3\right)^2-\left(m+1\right)\left(-m+2\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\ne-1\\2m^2+7m+7>0\left(\text{luôn đúng}\right)\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow m\ne-1\)

b.

BPT vô nghiệm khi \(\left(m^2-4m-5\right)x^2+2\left(m-5\right)-1< 0\) nghiệm đúng với mọi x

- Với \(m=-1\) ko thỏa mãn

- Với \(m=5\) thỏa mãn

- Với \(m\ne\left\{-1;5\right\}\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m-5< 0\\\Delta'=\left(m-5\right)^2+m^2-4m-5< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 5\\\left(m-5\right)\left(2m-4\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-1< m< 5\\2< m< 5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow2< m< 5\)

Kết hợp lại ta được: \(2< m\le5\)

f(x) = (m + 1) x 2  - 2(3 - 2m)x + m + 1 ≥ 0 (1)

Với m = -1:

(1) ⇔ -10x ≥ 0 ⇔ x ≤ 0

Vậy với m = -1 bất phương trình (1) có nghiệm x ≤ 0

Suy ra, m = -1 (loại)

Với m ≠ -1:

f(x) = (m +1 ) x 2  - 2(3 - 2m)x + m + 1

Δ' = [-(3 - 2m) ] 2  - (m + 1)(m + 1) = (2m - 3 ) 2  - (m + 1 ) 2

= (2m - 3 + m + 1)(2m - 3 - m - 1) = (3m - 2)(m - 4)

Để bất phương trình (1) vô nghiệm thì:

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình (1) vô nghiệm

Lời giải:

Để pt có 2 nghiệm pb thì:

$\Delta'=1-(2-m)=m-1>0\Leftrightarrow m>1$

Áp dụng định lý Viet: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=2-m\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$2x_1^3+(m+2)x_2^2=5$

$\Leftrightarrow 2x_1^3+(2x_1+2x_2-x_1x_2)x_2^2=5$

$\Leftrightarrow 2(x_1^3+x_2^3)+x_1(2-x_2)x_2^2=5$

\(\Leftrightarrow 2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+x_1^2x_2^2=5\)

\(\Leftrightarrow 2[8-6(2-m)]+(2-m)^2=5\)

\(\Leftrightarrow m^2+8m-9=0\Leftrightarrow (m-1)(m+9)=0\)

Vì $m>1$ nên không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.