Đặt A = \(\sqrt{ }\)2003 + \(\sqrt{ }\)2005 ; B = 2\(\sqrt{ }\)2004
A² = 2003 + 2005 + 2\(\sqrt{ }\)(2003.2005)
= 4008 + 2\(\sqrt{ }\)[(2004-1)(2004+1)]
= 4008 + 2\(\sqrt{ }\)(2004² - 1) < 2.2004 + 2\(\sqrt{ }\)(2004²) = 4.2004 = B²
\(\Rightarrow\) A < B

Ta có: \(2\sqrt{2003.2005}=2\sqrt{2004^2-1}< 2\sqrt{2004^2}\)

\(\Rightarrow\) 2003 + \(2\sqrt{2003.2005}+2005\) < 2003 + 4008 + 2005

hay \(\left(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\right)^2< 8016\)

\(\Rightarrow\) \(\sqrt{2003}+\sqrt{2005}\) < 2 \(\sqrt{2004}\)

Ta có

\(\sqrt{2005}-\sqrt{2004}=\dfrac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}\)

và \(\sqrt{2004}-\sqrt{2003}=\dfrac{1}{\sqrt{2004+\sqrt{2003}}}\)

Quy về so sánh

\(\dfrac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}\) với \(\dfrac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2003}}\)

Khi đó ,ta thấy ngay ở biểu thức thứ nhất lớn hơn mẫu ở biểu thức thứ hai ,các số này đều dương nên suy ra

\(\sqrt{2005}-\sqrt{2004}< \sqrt{2004}-\sqrt{2003}\)

Áp dụng bđt \(\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}< \sqrt{\frac{a+b}{2}}\) (bạn tự c/m) với a = 2003 , b = 2005

được : \(\frac{\sqrt{2003}+\sqrt{2005}}{2}< \sqrt{\frac{2003+2005}{2}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2003}+\sqrt{2005}< 2\sqrt{2004}\)

Tao nói thật nhé Mày là cái đồ óc chó mất dạy

Sao bạn lại chửi bạn ấy?

Lời giải:

a.

$\sqrt{8}+\sqrt{15}+1<\sqrt{9}+\sqrt{16}+1=3+4+1=8=\sqrt{64}< \sqrt{65}$

$\Rightarrow \sqrt{8}+\sqrt{15}< \sqrt{65}-1$
b.

$(2\sqrt{3}+6\sqrt{2})^2=84+24\sqrt{6}< 84+24\sqrt{9}< 169$

$\Rightarrow 2\sqrt{3}+6\sqrt{2}< 13$

$\Rightarrow \frac{13-2\sqrt{3}}{6}> \sqrt{2}$

Bình 2 phương \(\sqrt{40+2}\) và \(\sqrt{40}+\sqrt{2}\) đc

\(\sqrt{\left(40+2\right)^2}=42\)

\(\left(\sqrt{40}+\sqrt{2}\right)^2=40+2+2\sqrt{40\cdot2}=42+2\sqrt{80}\)

Ta thấy:\(42+2\sqrt{80}>42\)

\(\Rightarrow\sqrt{40}+\sqrt{2}>\sqrt{40+2}\)

Dễ

Bình phương cả 2 vế ta đc

42+2 và 40+2+2.\(4\sqrt{5}\)

42+2 và 42+2.\(4\sqrt{5}\)

Ta thấy \(4\sqrt{5}\)  >2

Suy ra 42+2<42+2.\(4\sqrt{5}\)

=>\(\sqrt{42+2}

Ta có:\(\left(\sqrt{42+2}\right)^2=44\)(1)

\(\left(\sqrt{40}+\sqrt{2}\right)^2=44+2\sqrt{80}\)(2)

Do (1)<(2)

=>\(\sqrt{42+2}

5a)
(sqrt(40 + 2))^2 = 40 + 2
(sqrt(40) + sqrt(2))^2 = 40 + 2 + 2*sqrt(40)*sqrt(2)
=> sqrt(40 + 2) < sqrt(40) + sqrt(2)