Gọi H trọng tâm của tam giác đều BCD.

Ta có AH ⊥ (BCD). Do đó

Vậy

Mặt khác OC 2 = OH 2 + HC 2

hay OC = OB = OD = (a 2 )/2

Vì BD = BC = CD = a nên các tam giác DOB, BOC, COD là những tam giác vuông cân tại O. Do đó hình chóp ODBC là hình chóp có đáy là tam giác đều nên tâm của mặt cầu ngoại tiếp phải nằm trên OH, ngoài ra tâm của mặt cầu ngoại tiếp này phải nằm trên trục của tam giác vuông DOB. Từ trung điểm C’ của cạnh BD ta vẽ đường thẳng song song với OC cắt đường thẳng OH tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và IC 2 = IH 2 + HC 2

Chú ý rằng IH = OH/2 (vì HC′ = HC/2)

Do đó:

tại I. Ta có I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD. Mặt cầu này có bán kính là IC và \(IC^2=\dfrac{1}{2}OH\) (vì \(HC'=\dfrac{1}{2}HC\))

Do đó :

\(IC^2=\dfrac{a^2}{24}+\dfrac{a^2}{3}=\dfrac{9a^2}{24}\)

hay \(IC=\dfrac{a\sqrt{6}}{4}\)

Mặt khác 

Suy ra Í=IIA=IB=IC=ID=3a/4

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm I và bán kính R=SI=3a/4

Diện tích mắt cầu là: 

Thể tích khối cầu là:

Gọi I = AC ∩ BD. Ta thấy AC = a√2 = BD,

SA = SC = a, nên SA² + SC² = AC². Vậy điểm S nhìn AC dưới một góc vuông. Các điểm B và D cũng nhìn AC dưới một góc vuông.

Vậy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là mặt cầu đường kính AC. Tâm của cầu là điểm I và bán kính R = . Ta thấy rằng điểm I cũng là chân đường cao hạ từ đỉnh S xuống đáy.

Gọi E là trung điểm BC \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE\perp BC\\DE\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(ADE\right)\)

Trong tam giác cân ADE (cân tại E), kẻ \(DH\perp AE\Rightarrow DH\perp\left(ABC\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{DAE}=45^0\Rightarrow\Delta ADE\) vuông cân tại E 

Gọi G và G' lần lượt là trọng tâm ABC và BCD. Trong mp (ADE), qua G kẻ đường thẳng d song song DE, qua G' kẻ d' song song AE. Gọi O là giao điểm d và d' \(\Rightarrow\) O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Ta có: \(AE=DE=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\) ; \(AG=\dfrac{2}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}\) ; \(OG=OG'=\dfrac{1}{3}AE=\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\)

\(R=OA=\sqrt{AG^2+OG^2}=\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)

Gọi H là trung điểm BC

Vì \(\Delta BDC\) vuông tại D nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta BDC\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên AH vuông góc với BC

Mà (ABC) vuông góc (BDC) nên AH vuông góc với (BDC) tại H

\(\Rightarrow\) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD phải nằm trên đường thẳng AH

Chọn điểm O thuộc đường thẳng AH sao cho OA=OB thì O chính là tâm mặt cầu cần tìm

(bạn tự tính) được \(R=\frac{a^2}{b}\)

Hướng dẫn giải:

a) Trong hình hộp chữ nhật, bốn đường chéo AC", BD', CA" và DB" căt nhau tại điểm I là trung điểm của mỗi đường.

Vì 4 đường chéo trong hình hộp chữ nhật bằng nhau, nên điểm I cách đề 8 đỉnh của hình hộp chữ nhật. Nó là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.

Vì AB = b, AD = c, AA' = a nên bán kính mặt cầu .

b) Giao tuyến của mặt phẳng ABCD với mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là hai đwòng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Nên bán kính của đường trong giao tuyến là