Để tìm cặp số (x, y) thỏa mãn phương trình 4x^2 - 12xy + 2y^2 + 12x - 6y + 8 = 0 sao cho y nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của y trong phương trình này.

Để làm điều này, ta có thể sử dụng phương pháp hoàn thiện định thức. Trước tiên, ta nhân hai vế của phương trình với 2 để thu được phương trình tương đương:

8x^2 - 24xy + 4y^2 + 24x - 12y + 16 = 0

Tiếp theo, ta nhóm các thành phần chứa x^2, xy và y^2 lại với nhau:

(8x^2 - 24xy + 4y^2) + (24x - 12y) + 16 = 0

(2x - y)^2 + 2(6x - 3y) + 16 = 0

Bây giờ, ta để ý rằng (2x - y)^2 là một số không âm vì là bình phương của một số. Do đó, để giá trị của phương trình là nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của 2(6x - 3y). Điều này xảy ra khi 6x - 3y = 0, tức là 2x - y = 0.

Giải hệ phương trình này, ta có:

2x - y = 0 6x - 3y = 0

Từ phương trình thứ nhất, ta có y = 2x. Thay vào phương trình thứ hai, ta có:

6x - 3(2x) = 0 6x - 6x = 0 0 = 0

Phương trình này đúng với mọi giá trị của x và y. Do đó, không có giá trị cụ thể cho (x, y) thỏa mãn y nhỏ nhất trong phương trình ban đầu.

a) \(4x^2+12x+1=\left(4x^2+12x+9\right)-8=\left(2x+3\right)^2-8\ge-8\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=-\dfrac{3}{2}\)

b) \(4x^2-3x+10=\left(4x^2-3x+\dfrac{9}{16}\right)+\dfrac{151}{16}=\left(2x-\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{151}{16}\ge\dfrac{151}{16}\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{8}\)

c) \(2x^2+5x+10=\left(2x^2+5x+\dfrac{25}{8}\right)+\dfrac{55}{8}=\left(\sqrt{2}x+\dfrac{5\sqrt{2}}{4}\right)^2+\dfrac{55}{8}\ge\dfrac{55}{8}\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{4}\)

d) \(x-x^2+2=-\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{9}{4}=-\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{9}{4}\le\dfrac{9}{4}\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

e) \(2x-2x^2=-2\left(x^2-x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=-2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\le\dfrac{1}{2}\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)

f) \(4x^2+2y^2+4xy+4y+5=\left(4x^2+4xy+y^2\right)+\left(y^2+4y+4\right)+1=\left(2x+y\right)^2+\left(y+2\right)^2+1\ge1\)

\(ĐTXR\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

a: Ta có: \(4x^2+12x+1\)

\(=4x^2+12x+9-8\)

\(=\left(2x+3\right)^2-8\ge-8\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{3}{2}\)

b: Ta có: \(4x^2-3x+10\)

\(=4\left(x^2-\dfrac{3}{4}x+\dfrac{5}{2}\right)\)

\(=4\left(x^2-2\cdot x\cdot\dfrac{3}{8}+\dfrac{9}{64}+\dfrac{151}{64}\right)\)

\(=4\left(x-\dfrac{3}{8}\right)^2+\dfrac{151}{16}\ge\dfrac{151}{16}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=\dfrac{3}{8}\)

c: Ta có: \(2x^2+5x+10\)

\(=2\left(x^2+\dfrac{5}{2}x+5\right)\)

\(=2\left(x^2+2\cdot x\cdot\dfrac{5}{4}+\dfrac{25}{16}+\dfrac{55}{16}\right)\)

\(=2\left(x+\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{55}{8}\ge\dfrac{55}{8}\forall x\)

Dấu '=' xảy ra khi \(x=-\dfrac{5}{4}\)

ta có  \(\left(x-2\right)^3=x^3-6x^2+12x-8>x^3-6x^2+12x-27=y^3\)

ta có \(6x^2-12x+27>0vớimoix\)

\(=>-6x^2+12x-27< 0\)

\(=>y^3>x^3\)

mà x y nguyên nên y^3 nguyên =>\(y^3=\left(x-1\right)^3\)

Ta có: \(2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x^2+2xy+y^2\right)=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

Theo BĐT Bunhacopxky: \(\left(x^2+y^2\right)\left(1+1\right)\ge\left(x+y\right)^2\Rightarrow\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)\ge\dfrac{3}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow2x^2+xy+2y^2=\dfrac{3}{2}\left(x^2+y^2\right)+\dfrac{1}{2}\left(x+y\right)^2\ge\dfrac{5}{4}\left(x+y\right)^2\\ \Rightarrow\sqrt{2x^2+xy+2y^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+y\right)\)

Chứng minh tương tự:

\(\sqrt{2y^2+yz+2z^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(y+z\right)\\ \sqrt{2z^2+xz+2x^2}\ge\dfrac{\sqrt{5}}{2}\left(x+z\right)\)

Cộng vế theo vế, ta được: \(P\ge\sqrt{5}\left(x+y+z\right)=\sqrt{5}\cdot1=\sqrt{5}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{1}{3}\) 

Bạn tham khảo nhé

https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-cac-so-duong-xyz-thoa-man-xyz1cmrcan2x2xy2y2can2y2yz2z2can2z2zx2x2can5.182722154737

\(2x^2+12x+18-2y^2\)

\(=2\left(x^2+6x+9-y^2\right)\)

\(=2\left[\left(x^2+6x+9\right)-y^2\right]\)

\(=2\left[\left(x+3\right)^2-y^2\right]\)

\(=2\left(x+3+y\right)\left(x+3-y\right)\)

Thay \(x=\dfrac{7}{3}\) vào phương trình \(3x^2-10x+3m+1=0\), ta được:

\(3\cdot\left(\dfrac{7}{3}\right)^2-10\cdot\dfrac{7}{3}+3m+1=0\)

\(\Leftrightarrow3\cdot\dfrac{49}{9}-\dfrac{70}{3}+3m+1=0\)

\(\Leftrightarrow3m-6=0\)

\(\Leftrightarrow3m=6\)

hay m=2

Thay m=2 vào phương trình \(3x^2-10x+3m+1=0\), ta được:

\(3x^2-10x+7=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-3x-7x+7=0\)

\(\Leftrightarrow3x\left(x-1\right)-7\left(x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(3x-7\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-1=0\\3x-7=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=\dfrac{7}{3}\end{matrix}\right.\)

Vậy: m=2 và nghiệm còn lại của phương trình là \(x_2=1\)