a) Thay \(x=0\) vào phương trình ta có:

\(\left(m-1\right).0^2-2m.0+m+1=0.\\ \Leftrightarrow m+1=0.\\ \Leftrightarrow m=-1.\)

b) Ta có: \(\Delta'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right).\)

 \(\Delta'=m^2-\left(m^2-1\right).\\ =m^2-m^2+1.\\ =1>0.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m+1}{m-1}.\\x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}.\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài: \(x_1.x_2=5.\)

\(\Rightarrow\dfrac{m+1}{m-1}=5.\\ \Leftrightarrow m+1=5m-5.\\ \Leftrightarrow4m-6=0.\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}.\)

Thay \(m=\dfrac{3}{2}\) vào \(\left(1\right):\)

\(x_1+x_2=\) \(\dfrac{2.\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-1}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}}=6.\)

Lời giải:

a) Khi $m=1$ thì pt trở thành:

$x^2-2x-5=0$

$\Leftrightarrow (x-1)^2=6$

$\Rightarrow x=1\pm \sqrt{6}$ 

b) Để $x_1=3$ là nghiệm của pt thì:

$3^2-2.m.3+2m-7=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

Nghiệm còn lại $x_2=(x_1+x_2)-x_1=2m-x_1=2.\frac{1}{2}-3=-2$

c) 

$\Delta'= m^2-(2m-7)=(m-1)^2+6>0$ với mọi $m\in\mathbb{R}$ nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$

Theo định lý Viet: $x_1+x_2=2m$ và $x_1x_2=2m-7$

Khi đó: 

Để $x_1^2+x_2^2=13$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=13$

$\Leftrightarrow (2m)^2-2(2m-7)=13$

$\Leftrightarrow 4m^2-4m+1=0\Leftrightarrow (2m-1)^2=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$

d) 

$x_1^2+x_2^2+x_1x_2=(x_1+x_2)^2-x_1x_2$

$=(2m)^2-(2m-7)=4m^2-2m+7=(2m-\frac{1}{2})^2+\frac{27}{4}\geq \frac{27}{4}$
Vậy $x_1^2+x_2^2+x_1x_2$ đạt min bằng $\frac{27}{4}$. Giá trị này đạt tại $m=\frac{1}{4}$

a) x = 0 là nghiệm của phương trình

=> (m-1).0² -2.m.0 + m + 1 = 0

<=> m + 1 = 0 <=> m = -1

vậy m = -1 thì pt có nghiệm là x = 0

b) PT có 2 nghiệm thì trước hết pt đã cho là phương trình bậc 2 <=> m - 1\(\ne\) 0 <=> m \(\ne\)1

 \(\Delta\)' = (-m)² - (m - 1)(m +1) = m² - (m² - 1) = 1 > 0

=> phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

x₁ = \(\frac{m+1}{m-1}\) ; x₂ = \(\frac{m-1}{m-1}\) = 1

+) Để x₁ .x₂ = 5 <=> \(\frac{m+1}{m-1}\) = 5 <=> m +1 = 5( m - 1)

<=> m +1 = 5m - 5

<=> 6 = 4m <=> m = 3/2 (Thoả mãn)

+) Khi đó x₁  + x₂ = \(\frac{m+1}{m-1}\) + 1 = \(\frac{m+1+m-1}{m-1}=\frac{2m}{m-1}=\frac{2.\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)

Mình không đồng ý với phần tìm đen-ta của bạn Trần Thị Loan

Phương trình (m-1)x² - 2mx + m + 1 = 0 ( a=m-1; b=-2m; c=m+1)

​đen-ta = (-2m)² - 4.(m-1).(m=1)=4

Vì đen-ta = 4 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Phần b) còn cách 2 ngắn hơn như sau :

Để (m-1)x² - 2mx + m + 1 = 0 thì m-1\(\ne\)0 \(\Leftrightarrow m\ne1\)

Vì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình nên áp dụng hệ thức Vi-ét ta có :

\(x_1.x_2=5\\ \Leftrightarrow\frac{m+1}{m-1}=5\\ \Leftrightarrow m+1=5.\left(m-1\right)\\ \Leftrightarrow m+1=5m-5\\ \Leftrightarrow-4m=-6\\ m=\frac{3}{2}\left(tmđk\right)\)

Vậy \(m=\frac{3}{2}\)thì phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 

\(x_1+x_2=\frac{m+1}{m-1}+1=\frac{m+1}{m-1}+\frac{m-1}{m-1}=\frac{m+1+m-1}{m-1}=\frac{2m}{m-1}\left(1\right)\)

Thay \(m=\frac{3}{2}\)vào (1) ta được :

\(\frac{2.\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)

a) Thay \(m=2\) vào phương trình, ta được:

 \(x^2-4x+1=0\) \(\Leftrightarrow x=2\pm\sqrt{3}\)

  Vậy ...

b) Ta có: \(\Delta'=m^2-m+1=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 

b) Ta có: \(\text{Δ}=\left(-2m\right)^2-4\cdot1\cdot\left(m-1\right)=4m^2-4m+4=\left(2m-1\right)^2\ge0\forall m\)

nên phương trình luôn có nghiệm với mọi m

a) Thay m=2 vào phương trình, ta được:

\(x^2-2x+1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)

hay x=1

Vậy: Khi m=2 thì phương trình có nghiệm là x=1

a*c<0

=>Phương trình luôn có hai nghiệm

x1^2+x2^2=12

=>(x1+x2)^2-2x1x2=12

=>(2m)^2-2*(-2)=12

=>4m^2+4=12

=>m^2+1=3

=>m^2=2

=>\(m=\pm\sqrt{2}\)