Lời giải:

1. 

PT $\Leftrightarrow (x^2+5x)^2+2(x^2+5x)-24=0$

$\Leftrightarrow t^2+2t-24=0$ (đặt $x^2+5x=t$)

$\Leftrightarrow (t-4)(t+6)=0$

$\Rightarrow t-4=0$ hoặc $t+6=0$

Nếu $t-4=0\Leftrightarrow x^2+5x-4=0$

$\Leftrightarrow x=\frac{-5\pm \sqrt{41}}{2}$

Nếu $t+6=0$

$\Leftrightarrow x^2+5x+6=0$

$\Leftrightarrow (x+2)(x+3)=0\Rightarrow x=-2$ hoặc $x=-3$

2.

PT $\Leftrightarrow (x^2-4x+1)^2+2(x^2-4x+1)-3=0$

$\Leftrightarrow t^2+2t-3=0$ (đặt $x^2-4x+1=t$)

$\Leftrightarrow (t-1)(t+3)=0$

$\Rightarrow t-1=0$ hoặc $t+3=0$

Nếu $t-1=0\Leftrightarrow x^2-4x=0\Leftrightarrow x(x-4)=0$

$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=4$

Nếu $t+3=0\Leftrightarrow x^2-4x+4=0$

$\Leftrightarrow (x-2)^2=0\Leftrightarrow x=2$

2x^2  -(4m+3)x+2m^2-1=0

 a= 2

b = -(4m+3)

 c= 2m^2-1

Ta có: ∆=b^2-4ac

              = 〖(4m+3)〗^2-4.2.(2m^2-1)

              = 16m^2+24m+9-16m^2+8   

               = 24m +17

Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Vậy để pt có 2 nghiệm phân biệt thì m > (-17)/24

https://www.youtube.com/watch?v=toNMfaR7_Ns

https://www.youtube.com/watch?v=toNMfaR7_Ns

2) pt đề bài cho=0

<=> \(\left(x-1\right)^2\left(2x^2-x+2\right)\)=0

<=>\(\orbr{\begin{cases}x-1=0\left(1\right)\\2x^2-x+2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ 1 => x=1

từ 2 =>\(2\left(x^2-\frac{1}{2}x+1\right)\)

 =\(2\left[\left(x-\frac{1}{4}\right)^2+\frac{15}{16}\right]>0\)với mọi x

Nên pt 2 cô nghiệm

Vậy pt đề cho có nghiệm là 1

1) \(x^3-3x^2+2=\left(x-1\right)\left(2^2-x+2\right)=0\)

3/ x(x + 3)(x + 1)(x + 2) = 24

   => (x² + 3x)(x² + 3x + 2) = 24

   Đặt a = x² + 3x ta được pt: a(a + 2) = 24 => a² + 2a - 24 = 0 => a = 4 hoặc a = -6

                                                         Vậy x = 1 , x = -4

4/ (x + 1)⁴ + (x + 3)⁴ = 2

    Đặt a = x + 2 ta được: (a - 1)⁴ + (a + 1)⁴ = 2

 \(\Rightarrow\left[\left(a-1\right)^2+\left(a+1\right)^2\right]^2-2\left(a-1\right)^2\left(a+1\right)^2=2\)

 \(\Rightarrow\left[\left(a-1+a+1\right)^2-2\left(a-1\right)\left(a+1\right)\right]^2-2\left(a^2-1\right)^2=0\)

 \(\Rightarrow\left[\left(2a\right)^2-2\left(a^2-1\right)\right]^2-2\left(a^2-1\right)^2=0\)

 \(\Rightarrow\left[4a^2-2\left(a^2-1\right)+\sqrt{2}\left(a^2-1\right)\right]\left[4a^2-2\left(a^2-1\right)-\sqrt{2}\left(a^2-1\right)\right]=0\)

\(\Rightarrow\left[\left(2+\sqrt{2}\right)a^2+2-\sqrt{2}\right]\left[\left(2-\sqrt{2}\right)a^2+2+\sqrt{2}\right]=0\)

                                          Tới đây bạn giải ra a rồi tính ra x nha

a) \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-4m+m^2\)

\(\Delta'=m^2+2m+1+m^2-4m=2m^2-2m+1\)

\(\Delta'=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}>0\)

=> pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Theo hệ thức viet, ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Theo bài ra, ta có: A = |x₁ - x₂|

A² = (x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂

A² = [2(m + 1)]² - 4(4m - m²)

A² = 4m² + 8m + 4 - 8m  + 4m² = 8m² + 4 \(\ge\)4 với mọi m

Dấu "=" xảy ra <=> m = 0

Vậy MinA = 4 khi m = 0

a) Xét \(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(4m-m^2\right)=2m^2-2m+1=m^2+\left(m-1\right)^2>0\)với mọi m

Vậy pt trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Gọi x₁ ; x₂ là 2 nghiệm của pt trên . Theo hệ thức Viet , ta có :

\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Xét \(A^2=\left|x_1-x_2\right|^2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2=4\left(m+1\right)^2-4\left(4m-m^2\right)\)

\(=8m^2-8m+4=2\left(4m^2-4m+1\right)+2=2\left(2m-1\right)^2+2\ge2\)

Dấu " = " xảy ra khi 2m - 1 = 0

Vậy \(A^2\ge2\Leftrightarrow A=\left|x_1-x_2\right|\ge\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra khi \(m=\frac{1}{2}\)

Do đó minA \(=\sqrt{2}\)khi \(m=\frac{1}{2}\)

a) Ta có:

  \(\Delta'=\left[-\left(m+1\right)\right]^2-1.\left(4m-m^2\right)=\left(m+1\right)^2+\left(m^2-4m\right)\)

        \(=m^2+2m+1+m^2-4m=2m^2-2m+1\)

        \(=\left(2m^2-2m+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}=2\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{2}\)

          \(=2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\)

hay \(\Delta'>0\)\(\Rightarrow\)Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt (đpcm)

b) Vì phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

  \(\Rightarrow\)Theo Viet ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m+1\right)=2m+2\\x_1.x_2=4m-m^2\end{cases}}\)

Ta có: \(A=\left|x_1-x_2\right|>0\)

 \(\Rightarrow A^2=\left(\left|x_1-x_2\right|\right)^2=\left(x_1-x_2\right)^2=x_1^2+x_2^2-2x_1.x_2\)

            \(=\left(x_1^2+x_2^2+2x_1.x_2\right)-4x_1.x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1.x_2\)

            \(=\left(2m+2\right)^2-4\left(4m-m^2\right)=4m^2+8m+4-16m+4m^2\)

            \(=8m^2-8m+4=\left(8m^2-8m+2\right)+2\)

             \(=8\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)+2=8\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+2\ge2\)

mà \(A>0\)\(\Rightarrow A\ge\sqrt{2}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow m-\frac{1}{2}=0\)\(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

Vậy \(minA=\sqrt{2}\)\(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)

\(\Delta'=m^2-6m+12>0\Rightarrow\) pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Do \(x_1\) là nghiệm nên \(x_1^2+2\left(m-1\right)x_1+4m-11=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)^2=12-4m-2mx_1\)

Theo Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\left(m-1\right)\\x_1x_2=4m-11\end{matrix}\right.\)

\(2\left(12-4m-2mx_1\right)+\left(6-x_2\right)\left(4m-11+11\right)=72\)

\(\Leftrightarrow24-8m-4mx_1+24m-4mx_2=72\)

\(\Leftrightarrow16m-4m\left(x_1+x_2\right)=48\)

\(\Leftrightarrow2m+m\left(m-1\right)=6\)

\(\Leftrightarrow m^2+m-6=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Việt Lâm giúp mk nhá