Chứng minh
a)\(\frac{1}{2}\)<\(\frac{1}{51}\)+\(\frac{1}{52}\)+...+\(\frac{1}{100}\)<1
b)\(\frac{7}{12}\)<\(\frac{1}{21}\)+\(\frac{1}{22}\)+...+\(\frac{1}{40}\)<\(\frac{5}{6}\)
Giúp mk với
Cho các số thực ko âm a,b thỏa mãn (1+a)(1+b)=\(\frac{9}{4}\).Chứng minh
a, a+b\(\ge\)1
b, \(a^2+b^2\)\(\ge\frac{1}{2}\)
\(\dfrac{9}{4}=ab+a+b+1\le\dfrac{1}{4}\left(a+b\right)^2+a+b+1\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2+4\left(a+b\right)-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b-1\right)\left(a+b+5\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a+b-1\ge0\) (do \(a+b+5>0\))
\(\Rightarrow a+b\ge1\)
b.
\(a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\ge\dfrac{1}{2}.1^2=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)
Cho a,b,c >0 thỏa mãn a+b+c\(\le\)\(\frac{3}{2}\).Chứng minh
a,\(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)\(\ge\)6
b,a+ b+ c+ \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)\(\ge\)\(\frac{15}{2}\)
a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
`A=1/a+1/b+1/c>=9/(a+b+c)`
Mà `a+b+c<=3/2`
`=>A>=9:3/2=6`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
b)Áp dụng BĐT cosi:
`a+1/(4a)>=1`
`b+1/(4b)>=1`
`c+1/(4c)>=1`
`=>a+b+c+1/(4a)+1/(4b)+1/(4c)>=3`
Ta có:
`1/a+1/b+1/c>=6`(Ở câu a)
`=>3/4(1/a+1/b+1/c)>=9/2`
`=>a+b+c+1/(a)+1/(b)+1/(c)>=3+9/2=15/2`
Dấu "=" `<=>a=b=c=1/2`
a)Áp dụng BĐT cosi-schwart:
A=1a+1b+1c≥9a+b+cA=1a+1b+1c≥9a+b+c
Mà a+b+c≤32a+b+c≤32
⇒A≥9:32=6⇒A≥9:32=6
Dấu "=" ⇔a=b=c=12⇔a=b=c=12
b)Áp dụng BĐT cosi:
a+14a≥1a+14a≥1
b+14b≥1b+14b≥1
c+14c≥1c+14c≥1
⇒a+b+c+14a+14b+14c≥3⇒a+b+c+14a+14b+14c≥3
Ta có:
1a+1b+1c≥61a+1b+1c≥6(Ở câu a)
⇒34(1a+1b+1c)≥92⇒34(1a+1b+1c)≥92
⇒a+b+c+1a+1b+1c≥3+92=152⇒a+b+c+1a+1b+1c≥3+92=152
Dấu "=" ⇔a=b=c=12
Cho các số thực x,y thỏa mãn x+y\(\ge\)4.Chứng minh
A=\(\frac{3x^2+4}{4x}\)+\(\frac{3y^2+2}{4y}\)\(\ge\)4
Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si:
\(A=\frac{3}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}y+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(x+y)+(\frac{x}{4}+\frac{1}{x})+(\frac{y}{4}+\frac{1}{y})\)
\(\geq \frac{1}{2}.4+2\sqrt{\frac{x}{4}.\frac{1}{x}}+2\sqrt{\frac{y}{4}.\frac{1}{y}}=4\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$
Bài 1: Chứng minh
a. A = 2x ^ 2 + 2x + 1 > 0 với mọi x
b. B = 4 + x ^ 2 + x > 0 với mọi x
Bài 2: Chứng minh
a. A = - x ^ 2 + 3x - 1 < 0 với mọi x
b. B = - 2x ^ 2 - 3x - 3 < 0 với mọi x
Bài 1:
\(a,A=2x^2+2x+1=\left(x^2+2x+1\right)+x^2=\left(x+1\right)^2+x^2\\ Mà:\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R\\ \Rightarrow\left(x+1\right)^2+x^2>0\forall x\in R\\ Vậy:A>0\forall x\in R\)
2:
a: =-(x^2-3x+1)
=-(x^2-3x+9/4-5/4)
=-(x-3/2)^2+5/4 chưa chắc <0 đâu bạn
b: =-2(x^2+3/2x+3/2)
=-2(x^2+2*x*3/4+9/16+15/16)
=-2(x+3/4)^2-15/8<0 với mọi x
Bài 1:
\(B=4+x^2+x=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{15}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\ge\dfrac{15}{4}\forall x\in R\\ Vậy:B>0\forall x\in R\)
Chứng minh
A = 1 + 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 219 + 220.chứng tỏ rằng A chia hết cho 3
kết hợp theo công thức thì số kết thúc phải là 219 hoặc là 221 mới kết hợp được
Đừng có đánh giá người khác như thế chứ ;-;
tính 3B :cho B=1+3+3^2+...+3^2006
chứng minhA={3^2007-1}:2
\(B=1+3+3^2+3^3+3^4+...+3^{2006}\)
\(\Rightarrow3B=3\left(1+3+3^2+...+3^{2006}\right)\)
\(\Rightarrow3B=3+3^2+3^3+...+3^{2007}\)
B=1+3+...+32006
=>3B=3+32+...+32007
A=(32007-1):2=32007:2-3:2
Để chứng minh rằng A={3^2007-1}:2, ta cần chứng minh hai phần:
1. Chia hết cho 2:
Ta có 3^2007-1 là số lẻ vì 3^2007 là số lẻ và 1 là số chẵn. Vì vậy, A chia hết cho 2.
2. Không chia hết cho 4:
Ta sẽ chứng minh rằng 3^2007-1 không chia hết cho 4.
Ta biết rằng 3^2 ≡ 1 (mod 4) (vì 3^2 = 9 ≡ 1 (mod 4))
Do đó, ta có thể viết lại 3^2007-1 = (3^2)^1003-1 = (3^2-1)(3^2)^1002+1 = 8k+1 với k là số nguyên.
Vì vậy, A không chia hết cho 4.
Từ hai phần trên, ta có thể kết luận rằng A={3^2007-1}:2.
Chứng minh
a^2 - ab + b^2 >= 1/3 (a^2 + ab + b^2) với mọi a, b
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \(\dfrac{2}{3}a^2-\dfrac{4}{3}ab+\dfrac{2}{3}b^2\ge0\Leftrightarrow\dfrac{2}{3}\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng với mọi a, b).
ChoA=1+2^1+2^2+2^3+...+2^2020+2^2021
a Tính 2.A
b chứng minhA=2^2022-1
a) Ta có A = 1 + 21 + 22 + ... + 22021
2A = 21 + 22 + 23 + ... + 22022
Vậy 2A = 21 + 22 + 23 + ... + 22022
b) 2A - A = ( 21 + 22 + 23 + ... + 22022 ) - ( 1 + 21 + 22 + ... + 22021 )
A = 22022 - 1
Vậy A = 22022 - 1
a)
\(A=1+2^1+2^2+2^3+...+2^{2020}+2^{2021}\)
\(2A=2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{2021}+2^{2022}\)
b)
\(2A=2^1+2^2+2^3+...+2^{2022}\)
\(2A-A=\left(2^1+2^2+2^3+...+2^{2022}\right)-\left(1+2^1+2^2+....+2^{2021}\right)\)
\(A=2^{2022}-1\)
=> đpcm
a/
\(2A=2+2^2+2^3+...+2^{2022}\)
b/
\(A=2A-A=2^{2022}-1\)
tìm số tự nhiên a biết a/6 dư 5.Chứng minha^2 /6 dư 1
Lời giải:
Vì $a$ chia $6$ dư $5$ nên đặt $a=6k+5$ với $k$ nguyên.
Khi đó: $a^2=(6k+5)^2=36k^2+25+60k=6(6k^2+10k+4)+1$ chia $6$ dư $1$
chứng minhA=1/2-2/2^2+3/2^3-4/2^4+...+99/2^99-100/2^100<2/9