\(3=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\Rightarrow abc\le1\)

BĐT tương đương:

\(3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)+6\right]\)

\(\Leftrightarrow3\left(ab+bc+ca\right)\ge abc\left[15-2\left(ab+bc+ca\right)\right]\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)\left(2abc+3\right)\ge15abc\)

\(\Leftrightarrow\left(ab+bc+ca\right)^2\left(2abc+3\right)^2\ge225\left(abc\right)^2\)

Do \(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc\)

Nên ta chỉ cần chứng minh:

\(\left(2abc+3\right)^2\ge25abc\)

\(\Leftrightarrow\left(1-abc\right)\left(9-4abc\right)\ge0\) (luôn đúng với \(0< abc\le1\))

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Lời giải:

Đặt 

Khi đó, điều kiện đb tương đương với:

Do đó ta có đpcm

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(VT=\dfrac{1}{a}-\dfrac{a}{c+a^2}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{b}{a+b^2}+\dfrac{1}{c}-\dfrac{c}{b+c^2}\)

\(=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}-\left(\dfrac{a}{c+a^2}+\dfrac{b}{a+b^2}+\dfrac{c}{b+c^2}\right)\)

\(\ge\dfrac{9}{a+b+c}-\left(\dfrac{a}{2a\sqrt{c}}+\dfrac{b}{2b\sqrt{a}}+\dfrac{c}{2c\sqrt{b}}\right)\)

\(\ge3-\left(\dfrac{1}{2\sqrt{c}}+\dfrac{1}{2\sqrt{a}}+\dfrac{1}{2\sqrt{b}}\right)\)\(=3-\left(\dfrac{2\sqrt{a}}{4a}+\dfrac{2\sqrt{b}}{4b}+\dfrac{2\sqrt{c}}{4c}\right)\)

\(\ge3-\left(\dfrac{a+1}{4a}+\dfrac{b+1}{4b}+\dfrac{c+1}{4c}\right)\)

\(=3-\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}\right)\ge3-\left(\dfrac{3}{4}+\dfrac{9}{4\left(a+b+c\right)}\right)=\dfrac{3}{2}\)

Khi \(a=b=c=1\)

\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge2018\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge a+b+c\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\frac{a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-c\right)}{a^3+b^3}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(a-b\right)\left(\frac{a^3}{c^3+a^3}-\frac{b^3}{b^3+c^3}\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\frac{c^3\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\right)\ge0\)

BĐT cuối cùng liếc qua cũng biết thừa đúng :) nên ta có ĐPCM

Dấu "=" <=> a=b=c 

Ủng hô va` kb với mình nhé ^^

Bài này làm dài lắm

Lời giải:

Xét hiệu:

\(2(a^4+c^4)-(a^3+c^3)(a+c)=2(a^4+c^4)-(a^4+a^3c+ac^3+c^4)\)

\(=a^4+c^4-a^3c-ac^3=(a-c)(a^3-c^3)=(a-c)^2(a^2+ac+c^2)\geq 0\)

với mọi \(a,c>0\)

Do đó: \(2(a^4+c^4)\geq (a^3+c^3)(a+c)\Leftrightarrow \frac{a^4+c^4}{a^3+c^3}\geq \frac{a+b}{2}\)

Hoàn toàn tương tự ta có:
\(\left\{\begin{matrix} \frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}\geq \frac{b+c}{2}\\ \frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\geq \frac{a+b}{2}\end{matrix}\right.\)

Cộng theo vế các BĐT thu được:

\(\frac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\geq \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c=2018\)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=\frac{2018}{3}$

\(\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge2018\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge a+b+c\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\dfrac{a^3\left(a-c\right)+b^3\left(b-c\right)}{a^3+b^3}\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)\left(\dfrac{a^3}{c^3+a^3}-\dfrac{b^3}{b^3+c^3}\right)\right)\ge0\)

\(\LeftrightarrowΣ_{cyc}\left(\left(a-b\right)^2\dfrac{c^3\left(a^2+ab+b^2\right)}{\left(a+c\right)\left(a^2-ac+c^2\right)\left(b+c\right)\left(b^2-bc+c^2\right)}\right)\ge0\)

Dễ thấy BĐT cuối luôn đúng nên ta có ĐPCM

Dấu "=" <=> \(a=b=c=\dfrac{2018}{3}\)

Ta chứng minh: \(\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}\ge\dfrac{a+b}{2}\Leftrightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\Leftrightarrow2a^4+2b^4\ge a^4+ab^3+b^4+ba^3\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4\ge ab^3+ba^3\Leftrightarrow a^3\left(a-b\right)-b^3\left(a-b\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a^3-b^3\right)\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh. Áp dụng vào bài, ta có:

\(\dfrac{a^4+b^4}{a^3+b^3}+\dfrac{b^4+c^4}{b^3+c^3}+\dfrac{c^4+a^4}{c^3+a^3}\ge\dfrac{a+b}{2}+\dfrac{b+c}{2}+\dfrac{c+a}{2}=2018\)

Xét a⁴ - 2a³ \(\ge8a-16\)

<=> a⁴ -2a³ -8a +16\(\ge0\)

<=> (a⁴ - 2a³) - 8 (a-2) \(\ge0\)

<=> \(a^3\left(a-2\right)-8\left(a-2\right)\ge0\)

<=> \(\left(a-2\right)\left(a^3-8\right)\ge0\)

<=> \(\left(a-2\right)^2\left(a^2+2a+4\right)\ge0\) (luôn đúng)

Tương tự => \(\left\{{}\begin{matrix}b^4-2b^3\ge8b-16\\c^4-2c^3\ge8c-16\end{matrix}\right.\)

<=> \(a^4+b^4+c^4-2\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge8\left(a+b+c\right)-48=0\)

<=> \(a^4+b^4+c^4\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

Dấu "=" <=> a=b=c=2

Áp dụng Côsi:

\(a^4+a^4+a^4+1\ge4\sqrt[4]{\left(a^4\right)^3}=4a^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-1\)

Ta chứng minh: \(a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

Theo Côsi: \(a^3+1+1\ge3\sqrt[3]{a^3}=3a\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3+2.4\ge3\left(a+b+c+d\right)=3.4\)

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+d^3\ge4\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4+d^4\right)\ge4\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)-4\ge3\left(a^3+b^3+c^3+d^3\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4+c^4+d^4\ge a^3+b^3+c^3+d^3\)