Cho đường tròn (O), dây AB cố định, điểm C thay đổi trên cung lớn AB sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N lần lượt là điểm chính giữa các cung AC và AB. Gọi I là giao điểm của BM và CN. Gọi H, K lần lượt là giao điểm của MN với AC và AB.                                                        1) Chứng minh: tam giác NIB là tam giác cân                                                                         2)Gọi D là giao điểm của CN với AB. Chứng minh: HI//AB và CH/CA=CA/AD.                     3)Xác định vị trí điểm C trên cung lớn AB để diện tích tứ giác AIBN lớn nhất

Cho đường tròn (O) với dây BC cố định (BC < 2R), điểm A trên cung lớn BC (A không trùng với B, C và A không là điểm chính giữa cung). Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC, E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B và C trên đường kính AA'.

a) Chứng minh rằng tứ giác BHEA nội tiếp và HE AC

b) Chứng minh HE.AC = HF.AB

c) Khi A di động,chứng minh tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác HEF cố định.

Cho (O) và dây BC cố định,không đi qua tâm.Điểm A thay đổi trên cung lớn BC(A khác B,C), điểm I là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của I trên các đường thẳng AB, AC. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, H, I, K cùng thuộc một đường tròn.

b) ΔIHK là Δ cân và Góc HIK = Góc BIC.

c) Khi A thay đổi trên cung lớn BC thì đường thẳng HK luôn đi qua một điểm cố định.

Cho đường tròn (O; R) và dây cung  B C = R 3  cố định. Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC nhọn. Gọi E là điểm đối ứng với B qua AC và F và điểm đối ứng với C qua AB. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABE và ACF cắt nhau tại K (K không trùng A). Gọi H là giao điểm của BE và CF.

c) Chứng minh AK luôn đi qua một điểm cố định