không biết :))))

Áp dụng bđt : a^2+b^2+c^2 >= ab+bc+ca thì :

P = x^4+y^4+z^4/xyz >= x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2/xyz

   >= xy.yz+yz.zx+zx.xy/xyz

     = xyz.(x+y+z)/xyz

     = x+y+z = -3

Dấu "=" xảy ra <=> x=y=z=-1 (T/m)

Vậy ...........

Tk mk nha

\(4=x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}\Leftrightarrow\sqrt[3]{xyz}\le\dfrac{4}{3}\Leftrightarrow xyz\le\dfrac{64}{27}\)(BĐT cauchy)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{4}{3}\)

Lời giải:

Áp dụng BĐT AM-GM:
$xy\le \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{(4-z)^2}{4}$

$\Rightarrow H\leq \frac{z(4-z)^2}{4}$

Tiếp tục áp dụng BĐT AM-GM:
$z(4-z)\leq \frac{(z+4-z)^2}{4}=4$

$4-z\leq 2$ do $z\geq 2$

$\Rightarrow \frac{z(4-z)^2}{4}\leq \frac{4.2}{4}=2$

Hay $H\leq 2$ 

Vậy $H_{\max}=2$ khi $(x,y,z)=(1,1,2)$

Lời giải:

Tìm min:

Áp dụng BĐT AM-GM:

$x^2+y^2+z^2\geq \frac{(x+y+z)^2}{3}=\frac{6^2}{3}=12$

Vậy $A_{\min}=12$. Giá trị này đạt tại $x=y=z=2$

--------------

Tìm max:

$A=x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+xz)=36-2(xy+yz+xz)$

Vì $x,y,z\geq 0\Rightarrow xy+yz+xz\geq 0$

$\Rightarrow A=36-2(xy+yz+xz)\leq 36$

Vậy $A_{\max}=36$. Giá trị này đạt tại $(x,y,z)=(0,0,6)$ và hoán vị.

1) Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số dương ta có

 \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x}+x^3\ge4\sqrt[4]{\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{x}.x^3}=4\) (1)

\(\dfrac{3}{y^2}+y^2\ge2\sqrt{\dfrac{3}{y^2}.y^2}=2\sqrt{3}\) (2)

\(\dfrac{3}{z^3}+z=\dfrac{3}{z^3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}+\dfrac{z}{3}\ge4\sqrt[4]{\dfrac{3}{z^3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}.\dfrac{z}{3}}=4\sqrt{3}\) (3)

Cộng (1);(2);(3) theo vế ta được

\(\left(\dfrac{3}{x}+\dfrac{3}{y^2}+\dfrac{3}{z^3}\right)+\left(x^3+y^2+z\right)\ge4+2\sqrt{3}+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow3\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{1}{z^3}\right)\ge3+4\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow P\ge\dfrac{3+4\sqrt{3}}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=x^3\\\dfrac{3}{y^2}=y^2\\\dfrac{3}{z^3}=\dfrac{z}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=\sqrt[4]{3}\\z=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn giả thiết ban đầu)

2) Ta có \(4\sqrt{ab}=2.\sqrt{a}.2\sqrt{b}\le a+4b\)

Dấu"=" khi a = 4b

nên \(\dfrac{8}{7a+4b+4\sqrt{ab}}\ge\dfrac{8}{7a+4b+a+4b}=\dfrac{1}{a+b}\)

Khi đó \(P\ge\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\sqrt{a+b}\)

Đặt \(\sqrt{a+b}=t>0\) ta được

\(P\ge\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{1}{t}+t=\left(\dfrac{1}{t^2}-\dfrac{2}{t}+1\right)+\dfrac{1}{t}+t-1\)

\(=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\)

Có \(\dfrac{1}{t}+t\ge2\sqrt{\dfrac{1}{t}.t}=2\) (BĐT Cauchy cho 2 số dương)

nên \(P=\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+\dfrac{1}{t}+t-1\ge\left(\dfrac{1}{t}-1\right)^2+1\ge1\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{t}-1=0\\t=\dfrac{1}{t}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow t=1\)(tm)

khi đó a + b = 1

mà a = 4b nên \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

Vậy MinP = 1 khi \(a=\dfrac{4}{5};b=\dfrac{1}{5}\)

\(2=x^2+y^2+z^2\ge y^2+z^2\ge2yz\Rightarrow yz\le1\)

\(P=x\left(1-yz\right)+y+z\Rightarrow P^2\le\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]\left[\left(1-yz\right)^2+1\right]\)

\(P^2\le\left(2+2yz\right)\left(y^2z^2-2yz+2\right)\)

\(P^2\le2\left(yz\right)^3-2\left(yz\right)^2+4=2y^2z^2\left(yz-1\right)+4\le4\)

\(\Rightarrow P\le2\)

\(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị