Chứng minh :
\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\cdot....\cdot2n\) \(⋮\) \(2^n\) \(\left(n\inℕ^∗\right)\)
Chứng minh rằng:
a)\(\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdot\cdot39}{21\cdot22\cdot23\cdot\cdot\cdot40}=\frac{1}{2^{20}}\)
b)\(\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdot\cdot\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\cdot\cdot\cdot2n}=\frac{1}{2^n}\)Với \(n\inℕ^∗\)
Chứng minh rằng
\(\frac{1\cdot3\cdot5\cdot\cdot\cdot\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)\cdot\left(n+3\right)\cdot...\cdot2n}=\frac{1}{2^n}\)
Chứng minh rằng :
\(\frac{1\cdot3\cdot5\cdot...\cdot\left(2n-1\right)}{\left(n+1\right)\cdot\left(n+2\right)\cdot\left(n+3\right)\cdot...\cdot2n}=\frac{1}{2^n}\)
Chứng minh: \(1\cdot2\cdot3+2\cdot3\cdot4+...+n\left(n+1\right)\left(n+2\right)=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)}{4}\) với mọi \(n\inℕ\)
A = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 ... + n(n + 1)(n + 2)
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + 3.4.5.4 + ... + n(n + 1)(n + 2).4
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4(5 - 1) + 3.4.5.(6 - 2)+ ... + n(n + 1)(n + 2)[(n + 3) - (n - 1)]
4A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + 3.4.5.6 - 2.3.4.5 + ... + n(n + 1)(n + 2)(n + 3) - (n-1)n(n+1)(n+2)
4A = n(n+1)(n+2)(n+3)
A = n(n + 1)(n+2)(n + 3) : 4
Chứng minh rằng: \(Q=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\) với mọi \(n\inℕ^∗\)
\(Q=n^3+\left(n+1\right)^3+\left(n+2\right)^3⋮9\)
\(Q=n^3+n^3+3n^2+3n+1+n^3+6n^2+12n+8\)
\(Q=3n^3+9n^2+15n+9\)
\(Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)\)
mà \(\left\{{}\begin{matrix}9\left(n^2+1\right)⋮9\\3n⋮3\\n^2+5⋮3\end{matrix}\right.\left(\forall n\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow Q=3n\left(n^2+5\right)+9\left(n^2+1\right)⋮9,\forall n\inℕ^∗\)
\(\Rightarrow dpcm\)
CMR: \(x=\frac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...\left(2n-1\right)\cdot2n}{2^n}\) là một số nguyên
Chỉ chứng minh được với điều kiện \(n\in N\)* (với \(n\) nguyên âm thì hiển nhiên quy luật trên tử số có vấn đề về mặt sắp xếp, \(n+1< n+2\) nhưng \(n+1>2n\) , còn với n không nguyên thì nó chẳng có quy luật nào cho tử số cả, \(n=0\) thì hmmm, tử số ko có quy luật nhưng chắc chắn =0)
Ta sử dụng quy nạp:
- Với \(n=1\Rightarrow x=\frac{2}{2^1}=1\) nguyên (đúng)
- Với \(n=2\Rightarrow x=\frac{3.4}{2^2}=3\) nguyên (đúng)
- Giả sử \(x\) là số nguyên với \(n=k\) tức là:
\(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...\left(2k-1\right)2k}{2^k}\) nguyên
- Ta cần chứng minh \(x\) cũng nguyên với \(n=k+1\)
Thật vậy, khi đó:
\(x=\frac{\left(k+2\right)\left(k+3\right)...\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{2^{k+1}}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}.\frac{\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)}{2.\left(k+1\right)}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}.\left(2k+1\right)\)
Do \(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}\) nguyên và \(2k+1\) nguyên
\(\Rightarrow x=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)...2k}{2^k}\left(2k+1\right)\) nguyên (đpcm)
cho f(n)=(n2 + n +1 )2 +1 với n thuộc N* . Đặt \(p_n=\frac{f_{\left(1\right)}\cdot f_{\left(3\right)}\cdot f_{\left(5\right)}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot f_{\left(2n-1\right)}}{f_{\left(2\right)}\cdot f_{\left(4\right)}\cdot f_{\left(6\right)}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot f_{\left(2n\right)}}\)
chứng minh rằng : P1 + P2 +P3 +................+ Pn <1/2
Chứng minh
\(\frac{2}{\left(n-1\right)\cdot n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n\cdot\left(n-1\right)}-\frac{1}{n\cdot\left(n+1\right)}\)
VP:
\(\frac{1}{n\left(n-1\right)}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)}{\left[n\left(n-1\right)\right]\left[n\left(n+1\right)\right]}-\frac{n\left(n-1\right)}{\left[n\left(n-1\right)\right]\left[n\left(n+1\right)\right]}\)
\(=\frac{n^2+n}{\left(n^2-n\right)\left(n^2+n\right)}-\frac{n^2-n}{\left(n^2-n\right)\left(n^2+n\right)}\)
\(=\frac{\left(n^2+n\right)-\left(n^2-n\right)}{\left(n^4-n^3+n^3-n^2\right)-\left(n^4-n^3+n^3-n^2\right)}\)
\(=\frac{2n}{\left(n^4-n^2\right)-\left(n^4-n^2\right)}\)
\(=\frac{2n}{0}\)
Ủa! Hình như tớ lm sai ở đâu đó.
\(f\left(n\right)=\left(n^2+n+1\right)^2+1\). Xét dãy \(\left(u_n\right)\) sao cho : \(\left(u_n\right)=\dfrac{f\left(1\right)\cdot f\left(3\right)\cdot f\left(5\right)...\cdot f\left(2n-1\right)}{f\left(2\right)\cdot f\left(4\right)\cdot...\cdot f\left(2n\right)}\). Tính \(\lim\limits_{n\sqrt{u_n}}\)