Question

Chứng minh :

\(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\cdot....\cdot2n\) \(⋮\) \(2^n\)                        \(\left(n\inℕ^∗\right)\)

Answer 1

Với n = 1 => Ta có: (1+1) = 2 chia hết cho 2¹

Giả sử n = k thì (k+1).(k+2)...2k chia hết cho 2^k

Cần chứng minh: (k+1+1).(k+1+2)...2(k+1) chia hết cho 2^k+1

Ta có: (k+1+1).(k+1+2)...2(k+1) = (k+2).(k+3)....2k.2(k+1) = 2.(k+1).(k+2)...2k chia hết cho 2.2^k = 2^k+1

Vậy (n+1)(n+2)....2n chia hết cho 2ⁿ (với mọi n thuộc N*)

Answer 2

Nhân \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....2n\) với \(2.4.6.8...2n\)

Ta được: \(\left(2.4.6...2n\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)...2n\)

=\(\left(1.2.3..n\right).2^n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n⋮2^n\)

\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n⋮2^n\)