Với n = 1 => Ta có: (1+1) = 2 chia hết cho 21
Giả sử n = k thì (k+1).(k+2)...2k chia hết cho 2k
Cần chứng minh: (k+1+1).(k+1+2)...2(k+1) chia hết cho 2k+1
Ta có: (k+1+1).(k+1+2)...2(k+1) = (k+2).(k+3)....2k.2(k+1) = 2.(k+1).(k+2)...2k chia hết cho 2.2k = 2k+1
Vậy (n+1)(n+2)....2n chia hết cho 2n (với mọi n thuộc N*)
Nhân \(\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)....2n\) với \(2.4.6.8...2n\)
Ta được: \(\left(2.4.6...2n\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)...2n\)
=\(\left(1.2.3..n\right).2^n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n⋮2^n\)
\(\Rightarrow\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)...2n⋮2^n\)