1). Gọi AD cắt (O) tại P khác A

Ta có P C M ^ = P A C ^  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)  = P E M ^ (góc đồng vị do E M ∥ A C );

Suy ra tứ giác ECMP nội tiếp. Từ đó suy ra   M P C ^ = M E C ^ = E C A ^ = C A P ^ ⇒ PM  tiếp xúc (O)

Tương tự PN tiếp xúc (O), suy ra MN tiếp xúc (O) tại P.

2) Theo 1). dễ thấy Δ B F A ∽ Δ B N P ⇒ Δ B N F ∽ Δ B P A ⇒ B N B P = F N A P (1).

Tương tự Δ C M E ∽ Δ C P A ⇒ C M C P = E M A P  (2).

Từ (1) và (2), ta có B N C M ⋅ C P B P = F N E M và theo giả thiết F N E M = B N C M , suy ra   C P = B P ⇒ A D là phân giác góc B A C ^ .

a) Từ O hạ OT vuông góc với MN tại T. Dễ thấy OE là trung trực AC nên OE vuông góc AC.

Mà AC // EM nên OE vuông góc EM. Từ đó ^OEM = ^OCM = ^OTM = 90⁰, suy ra 5 điểm O,E,M,C,T cùng thuộc 1 đường tròn.

Tương tự, ta có 5 điểm O,F,B,N,T cùng thuộc 1 đường tròn. Do đó ^OTE = ^OCE = ^OAE = ^OBF = ^OTF.

Từ đó 3 điểm E,F,T thẳng hàng. Vậy thì ^OCT = ^ OEA = ^OEC = ^OTC.

Suy ra \(\Delta\)OCT cân tại O hay OT = OC. Khi đó MN tiếp xúc với (O) tại T.  Theo tính chất 2 tiếp tuyến giao nhau:

BN = TN, CM = TM => BN + CM = MN (đpcm).

b) Gọi đường thẳng CR cắt (O) tại S. Ta sẽ chỉ ra S,B,Q thẳng hàng. Thật vậy:

Ta có: ^AQR + ^ACM = 180⁰ => ^AQR = 180⁰ - ^ACM = ^ABC = 180⁰ - ^ASR => Tứ giác ASRQ nội tiếp

=> ^RSQ = ^RAQ = 180⁰ - ^AQR - ^ARQ = 180⁰ - ^ABC - ^ACB = ^BAC = ^CSB.

Từ đó 3 điểm S,B,Q thẳng hàng (Vì SB trùng SQ). Vậy BQ và CR cắt nhau trên đường tròn (O) (đpcm).

a: CD//AB

=>\(\widehat{CDB}=\widehat{ABC}\)

Xét (O) có

\(\widehat{DBC}\) là góc tạo bởi dây cung BC và tiếp tuyến BD

\(\widehat{BAC}\) là góc nội tiếp chắn cung BC

Do đó: \(\widehat{DBC}=\widehat{BAC}\)

Xét ΔDBC và ΔCAB có

\(\widehat{DBC}=\widehat{CAB}\)

\(\widehat{DCB}=\widehat{ABC}\)

Do đó: ΔDBC đồng dạng với ΔCAB

=>\(\dfrac{DC}{CB}=\dfrac{BC}{AB}\)

=>\(BC^2=AB\cdot DC\)

còn câu B bạn

Điểm M, N bị thừa à bạn?

Do OE là đường trung bình của tam giác DAF nên ED = EF.

Do ED là tiếp tuyến của (O) nên ED² = EB . EC.

Từ đó EF² = EB . EC nên đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCF.