Giả sử trong hai số x,y không có số nào chia hết cho 3 thì

\(x^2,y^2\) chia cho 3 dư 1 ( do số chính phương chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1)

\(\Rightarrow x^2+y^2\equiv2\left(mod3\right)\) \(\Rightarrow z^2\equiv2\left(mod3\right)\) => vô lí

vậy trong hai số x,y phải có 1 số chia hết cho 3

tương tự ta cũng chứng minh được trong 2 số x,y có 1 số chia hết cho 4 ( sử dụng tính chất số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1)

mà \(\left(3,4\right)=1\) \(\Rightarrow xy⋮12\)

Chứng minh xyz chia hết cho 12 chứ nhỉ

Nè:

SCP chia 3 dư 0;1

Nếu cả 3 số không có số nào chia hết cho 3 thì vô lý (loại)

Vầy tồn tại 1 số chia hết cho 3

Nếu đó là x; y(cứ kệ nó)

Nếu đó là z

suy ra z^2 chia hết cho 3

suy ra z chia hết cho 3

suy ra x^2+y^2 chia hết cho 3 mà SCP chia 3 dư 0;1

suy ra x^2 chia hết cho 3;y^2 chia hết cho 3

Vậy trong mọi trường hợp thì 1 trong 2 số x;y luôn chia hết cho 3

Chứng minh tương tự với 4

suy ra xy chia hết cho cả 3;

mà UCLN (4;3)=1

Suy ra xy chia hết cho 12

@Ace Legona help me

@Akai Haruma

a.

\(\Leftrightarrow x\left(y+1\right)^2=32y\Leftrightarrow x=\dfrac{32y}{\left(y+1\right)^2}\)

Do y và y+1 nguyên tố cùng nhau  \(\Rightarrow32⋮\left(y+1\right)^2\)

\(\Rightarrow\left(y+1\right)^2=\left\{4;16\right\}\)

\(\Rightarrow...\)

b.

\(2a^2+a=3b^2+b\Leftrightarrow2\left(a-b\right)\left(a+b\right)+a-b=b^2\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+2b+1\right)\left(a-b\right)=b^2\)

Gọi \(d=ƯC\left(2a+2b+1;a-b\right)\)

\(\Rightarrow b^2\) chia hết \(d^2\Rightarrow b⋮d\) (1)

Lại có:

\(\left(2a+2b+1\right)-2\left(a-b\right)⋮d\)

\(\Rightarrow4b+1⋮d\) (2)

 (1);(2) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\Rightarrow2a+2b+1\) và \(a-b\) nguyên tố cùng nhau

Mà tích của chúng là 1 SCP nên cả 2 số đều phải là SCP (đpcm)

1/xy+1/xz>=1

<=> 1/x(1/y+1/z) >=1

<=>1/y+1/z>=x=4-y-z

<=>1/y+y+1/z+z>=4

<=>(1/y+y)+(1/z+z)>=4 (dễ nhá,tự cm đc chứ j)        

        >=2       >=2

Giả sử x;y⋮̸ 3

⇒x^2;y^2 chia 3 dư 1

⇒z^2=x^2+y^2 chia 3 dư 2 ( vô lý vì z^2 là số chính phương )

Vậy x⋮3y⋮3⇒xy⋮3

Chứng minh tương tự xy⋮4

(3;4)=1 => x.y chia hết cho 12

1/ Chứng minh nó chia hết cho 3:

Nếu cả x,y đều không chia hết cho 3 thì x², y² chia cho 3 dư 1.

\(\Rightarrow z^2=x^2+y^2\) chia cho 3 dư 2. Mà không có số chính phương chia 3 dư 2 nên ít nhất x, y chia hết cho 3.

\(\Rightarrow xy⋮3\)

Chứng minh chia hết cho 4.

Nếu cả x, y đều chẵn thì \(xy⋮4\)

Nếu trong x, y có 1 số lẻ (giả sử là x) thì z là số lẻ

\(\Rightarrow x=2k+1;y=2m;z=2n+1\)

\(\Rightarrow4m^2=4n^2+4n+1-4k^2-4k-1=4\left(n^2+n-k^2-k\right)\)

\(\Rightarrow m^2=\left(n^2+n-k^2-k\right)\)

\(\Rightarrow m⋮2\)

\(\Rightarrow y⋮4\)

\(\Rightarrow xy⋮4\)

Với x, y đều lẻ nên z chẵn

\(\Rightarrow x^2=4m+1;y^2=4n+1;z^2=4p\)

\(\Rightarrow\)Không tồn tại x, y, z nguyên thỏa cái này

Vậy \(xy⋮4\)

Từ chứng minh trên 

\(\Rightarrow xy⋮12\)

2/ \(a+b=c+d\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=\left(c+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2ab=2cd\)

\(\Leftrightarrow-2ab=-2cd\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2=\left(c-d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a-b=c-d\\a-b=d-c\end{cases}}\)

Kết hợp với \(a+b=c+d\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=c\\a=d\end{cases}}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

nhóc con rảnh hơi