đặt AB=c, BC=a, AC=c.
để chứng minh bđt trên ta sẽ áp dụng công thức: \(S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.a.b.sinC=\frac{1}{2}.b.c.sinA=\frac{1}{2}.a.c.sinB\)
ta có: \(\frac{sinA}{sinB+sinC}+\frac{sinB}{sinA+sinC}+\frac{sinC}{sinA+sinB}\)
       \(=\frac{a.b.c.sinA}{a.b.c.sinB+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinB}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinC}+\frac{a.b.c.sinC}{a.b.c.sinA+a.b.c.sinB}\)
        ;\(=\frac{2S_{\Delta ABC}.a}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.c}+\frac{2S_{\Delta ABC}.b}{2.S_{\Delta ABC}.c+2.S_{\Delta ABC}.b}+\frac{2S_{\Delta ABC}.c}{2S_{\Delta ABC}.b+2S_{\Delta ABC}.a}\)
         \(=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\).
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c};\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
nên \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1.\)
Ta sẽ chứng minh bđt phụ: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\left(1\right)\)
Thật vậy: \(\left(1\right)\Leftrightarrow a^2< a\left(b+c\right)\Leftrightarrow a< b+c\)(đúng vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác).
tương tự: \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c};\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\).
suy ra: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\).
vậy bất đẳng thức đã được chứng minh.
 

câu này khó ghê

ô mai nhót . Bài toàn khó thế này mà giải được . Tài thật 

kẻ đường cao AH,BD,CK 

ta có sinA=BD/AB=> BD=sinA.AB

         sinB=CK/BC=> CK=sinB.BC

         sinC=AH/AC=> AH=sinC.AC

ta có sin B=KC/BC=KC/a; sinB=AH/AB=AH/c

=> KC/a=AH/c

=> \(\frac{sinB.a}{a}=\frac{sinC.b}{c}\)

=> \(sinB=\frac{sinC.b}{c}\)

=> sinB.c=sinC.b

=> \(\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}\left(1\right)\)

ta lại có sinC=AH/AC=AH/b; sinC=BD/BC=BD/a

=> AH/b=BD/a

=> \(\frac{sinC.b}{b}=\frac{sinA.c}{a}\)

=> sinC.a=sinA.c

=> \(\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}\left(2\right)\)

(1),(2)=> a/sinA=b/sinB=c/sinC (đpcm)

a, \(\bigtriangleup{ABD} \sim \bigtriangleup{ACE}\) (g.g)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AC} = \dfrac{AD}{AE}\) \(\Rightarrow\) \(\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE}\)

\(\Rightarrow\) \(S_{ABC} \sim S_{ADE}\) (c.g.c)

\(\Rightarrow\) \(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}} = k^2 = ({\dfrac{AD}{AB}})^2\) = \(cos^2A\)

\(\Rightarrow\) \(S_{ADE} = S_{ABC} . cos^2A\) (đpcm)

b, \(S_{BCDE} = S_{ABC} - S_{ADE}\)

\(= S_{ABC} - S_{ABC} . cos^2A \)

= \(S_{ABC} (1-cos^2A)\)

= \(S_{BCDE} = S_{ABC} . sin^2A \) (đpcm)

  Đã xảy ra lỗi rồi. Bạn thông cảm vì sai sót này.

  Ta có:  

Áp dụng hệ quả của bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm 

   trong đó với     , ta có:

Tương tự, ta có:

Cộng ba bất đẳng thức     và   , ta được:

Khi đó, ta chỉ cần chứng minh

Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh được quy về dạng sau:    (bất đẳng thức Cauchy cho ba số   )

Hay       

Mà    đã được chứng minh ở câu    nên    luôn đúng với mọi  

Dấu    xảy ra    

Vậy,       

Bạn tử kẻ hình nhé .

a)\(\Delta ABD~\Delta ACE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\)

\(\Rightarrow\Delta ADE~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=cos^2\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}.cos^2\widehat{BAC}\)

b)Ta có : \(S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ABC}.cos^2\widehat{BAC}=S_{ABC}\left(1-cos^2\widehat{BAC}\right)=S_{ABC}.sin^2\widehat{BAC}\)