Kẻ AD⊥BC tại D, BE⊥AC tại E
Xét ΔBAE vuông tại E có \(\sin BAE=\frac{BE}{AB}\)
=>\(BE=AB\cdot\sin BAC\)
Xét ΔABC có BE là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot AB\cdot\sin BAC\cdot AC=\frac12\cdot b\cdot c\cdot\sin A\left(1\right)\)
Xét ΔBEC vuông tại E có \(\sin C=\frac{BE}{BC}\)
=>\(BE=BC\cdot\sin C\)
Xét ΔABC có BE là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot BE\cdot AC=\frac12\cdot BC\cdot\sin C\cdot AC=\frac12\cdot CA\cdot CB\cdot\sin C=\frac12\cdot a\cdot b\cdot\sin C\) (2)
Xét ΔADB vuông tại D có \(\sin ABD=\frac{AD}{AB}\)
=>\(AD=AB\cdot\sin ABD=AD\cdot\sin ABC\)
Xét ΔABC có AD là đường cao
nên \(S_{ABC}=\frac12\cdot AD\cdot BC=\frac12\cdot AB\cdot\sin ABC\cdot BC=\frac12\cdot BA\cdot BC\cdot\sin ABC=\frac12\cdot c\cdot a\cdot\sin B\) (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra \(S_{ABC}=\frac12\cdot ab\cdot\sin C=\frac12\cdot ac\cdot\sin B=\frac12\cdot bc\cdot\sin A\)
