Lời giải:

\(\int f(x)dx=\int \frac{x^2+2x}{x+1}dx=\int \frac{(x+1)^2-1}{x+1}dx=\int (x+1-\frac{1}{x+1})dx\)

\(=\int (x+1)dx-\int \frac{1}{x+1}dx=\frac{x^2}{2}+x-\ln |x+1|+c\)

Lời giải:

Đặt \(u=\ln (x+\sqrt{x^2+1}); dv=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}dx\)

\(\Rightarrow du=\frac{dx}{\sqrt{x^2+1}}; v=\int \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}dx=\frac{1}{2}\int \frac{d(x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}\)

\(\Rightarrow \int \frac{x\ln (x+\sqrt{x^2+1})}{\sqrt{x^2+1}}dx=\int udv=uv-vdu=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-\int dx\)

\(=\sqrt{x^2+1}\ln (x+\sqrt{x^2+1})-x+C\)

Đề bài là: \(f\left(x\right)=\dfrac{x^3+1}{x+2}\) hay \(f\left(x\right)=x^3+\dfrac{1}{x}+2\) hay \(f\left(x\right)=x^3+\dfrac{1}{x+2}\) bạn?

Bạn nên sử dụng tính năng gõ công thức toán hoặc chụp hình trực tiếp đề bài gửi lên (hiện hoc24 đã cho gửi câu hỏi bằng hình ảnh)

\(\int\dfrac{x^3+1}{x+2}dx=\int\left(x^2-2x+4-\dfrac{7}{x+2}\right)dx\)

\(=\dfrac{1}{3}x^3-x^2+4x-7ln\left|x+2\right|+C\)

2.

\(I=\int e^{3x}.3^xdx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=3^x\\dv=e^{3x}dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=3^xln3dx\\v=\dfrac{1}{3}e^{3x}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}\int e^{3x}.3^xdx=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x-\dfrac{ln3}{3}.I\)

\(\Rightarrow\left(1+\dfrac{ln3}{3}\right)I=\dfrac{1}{3}e^{3x}.3^x\)

\(\Rightarrow I=\dfrac{1}{3+ln3}.e^{3x}.3^x+C\)

1.

\(I=\int\left(2x-1\right)e^{\dfrac{1}{x}}dx=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx-\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Xét \(J=\int2x.e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=e^{\dfrac{1}{x}}\\dv=2xdx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=-\dfrac{e^{\dfrac{1}{x}}}{x^2}dx\\v=x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow J=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+\int e^{\dfrac{1}{x}}dx\)

\(\Rightarrow I=x^2.e^{\dfrac{1}{x}}+C\)

Để tìm nguyên hàm của hàm số, ta cần xác định giá trị của hàm tại một điểm nào đó.

Trong trường hợp này, ta chọn điểm nhân nguyên tố nhất là 3.

Để tính giá trị của hàm tại điểm 3, ta đặt x=3 vào hàm số:

f ( x )

( 2 x − 1 ) e 1 x

= ( 2 ( 3 ) − 1 ) e 1 ( 3 )

= ( 6 − 1 ) e 1 3

= ( 5 ) e 1 3

f ( x )

e 3 x

= e 3 ( 3 )

= e 3 3

Ta tiến hành tính toán:

f ( 3 )

( 5 ) e 1 3

= 5 e 1 3

f ( 3 )

e 3 3

= e 3 3

Như vậy, giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.

Tóm lại, để tìm nguyên hàm của hàm số, ta đã tìm được rằng giá trị của hàm tại điểm 3 là 5e^3 hoặc e^33, tùy thuộc vào hàm số cụ thể.

Sửa b)`->` x nguyên để f(x) nguyên

a)TXĐ:`{(x>=0),(sqrtx-1 ne 0):}`

`<=>{(x>=0),(sqrtx ne 1):}`

`=>x>=0,x ne 1`

`b)f(x) in ZZ=>sqrtx+1 vdots sqrtx-1`

`=>sqrtx-1+2 vdots sqrtx-1`

`=>2 vdots sqrtx-1`

`=>sqrtx-1 in Ư(2)`

`=>sqrtx-1 in {+-1;2}`

`=>sqrtx in {0;2;3}`

`=>x in {0;4;9}`

a: ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge0\\x\ne1\end{matrix}\right.\)

b: Để f(x) nguyên thì \(\sqrt{x}+1⋮\sqrt{x}-1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-1\in\left\{-1;1;2\right\}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\in\left\{0;2;3\right\}\)

hay \(x\in\left\{0;4;9\right\}\)

\(f\left(x\right)=\dfrac{x^2-1}{x^2}=1-\dfrac{1}{x^2}\)

\(\int f\left(x\right)dx=\int\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)dx=\int1dx-\int x^{-2}dx\)

=\(x-\dfrac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=x-\dfrac{x^{-1}}{-1}+C=x+\dfrac{1}{x}+C\)

C=-1 ta được phương án A(ko tm câu hỏi)

C=0 ta được phương án B(ko tm câu hỏi)

C=2 ta được phương án C(ko tm câu hỏi)

=>chọn D

\(\int sin^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}cosx\right)dx=\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{2}sinx+C\)

\(\int cos^23xdx=\int\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}cos6x\right)dx=\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{12}sin6x+C\)

\(\int4cos^2\dfrac{x}{2}dx=\int\left(2+2cosx\right)dx=2x+2sinx+C\)